Mathe WG12 gundlegendes Niveau - Vektorielle Geometrie

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Geraden (Theorie)

Was ist eine Gerade

Eine Gerade in der vektoriellen Geometrie ist dreidimensional, d.h. sie breitet sich in 3 Dimension aus. Diese nennen wir $x_1, x_2$ und $x_3$.
Zur Darstellung verwendet man einen Startpunkt (Aufpunkt) und einen Richtungsvektor.
Der Richtungsvektor entspricht der Steigung.

Die Gerade $g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ hat als Aufpunkt $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ und als Richtungsvektor $\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$.

Punkte auf der Geraden bestimmen

Die Variable vor dem Richtungsvektor dient der Skalierung des Vektors. Hier kann man jede reele Zahl einsetzen und erhält dann einen Punkt auf der Geraden.
$g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$

Beispiel: Nehmen wir unsere Gerade von eben $g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ und setzen Werte für $k$ ein:

Mit $k=1$ bekommen wir $\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ 1\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$
Mit $k=0,5$ bekommen wir $\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ 0{,}5\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\1\\3{,}5\end{pmatrix}$
Mit $k=-2$ bekommen wir $\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ (-2)\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3\\6\\1\end{pmatrix}$
Mit $k=100$ bekommen wir $\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ 100\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}201\\198\\103\end{pmatrix}$

Liegt ein Punkt auf der Geraden

Ist ein Punkt und eine Gerade gegeben, so setzt man den Punkt ein und überprüft ob es ein eindeutiges $k$ gibt.

Beispiel 1 : Liegt $P=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ auf $g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$?

Lösung:

1.) $P$ für $\vec x$ einsetzen: $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$
2.) In jeder der 3 Gleichungen $k$ bestimmen: $\begin{array}{rcll}1&=& 1+k\cdot 2 &\Rightarrow k = 0\\ 1&=& 2+k\cdot (-2) &\Rightarrow k = \frac12\\ 1&=& 3+k\cdot 1 &\Rightarrow k = -2 \end{array}$
Da die $k$-Werte nicht alle gleich sind liegt $P$ nicht auf $g$.

Beispiel 2 : Liegt $Q=\begin{pmatrix}7\\-4\\6\end{pmatrix}$ auf $g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$?

Lösung:

1.) $Q$ für $\vec x$ einsetzen: $\begin{pmatrix}7\\-4\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$
2.) In jeder der 3 Gleichungen $k$ bestimmen: $\begin{array}{rcll} 7&=& 1+k\cdot 2 &\Rightarrow k = 3\\ -4&=& 2+k\cdot (-2) &\Rightarrow k = 3\\ 6&=& 3+k\cdot 1 &\Rightarrow k = 3 \end{array}$
Da alle $k$-Werte 3 sind, liegt $Q$ auf $g$.

Aufstellen (mit Punkt und Richtungsvektor)

Wenn man einen Punkt $P$ und einen Richtungsvektor $\vec v$ gegeben hat, hat man schon alle Angaben die man braucht.
Die Gerade ist dann $g:\vec x = P+k\cdot \vec v$.
Man kann formal korrekt statt $P$ den Ortsvektor $\vec p=\overline{OP}$ verwenden: $g:\vec x = \vec p+k\cdot \vec v$

Die Variable $k$ kann beliebig benannt werden, sie besagt, dass der Richtungsvektor beliebig gestreckt und gestaucht werden kann.
Somit sind folgende Geraden alle gleich:
$g:\vec x = \vec p+k\cdot \vec v$
$g:\vec x = \vec p+r\cdot \vec v$
$g:\vec x = \vec p+s\cdot \vec v$
$g:\vec x = \vec p+\lambda\cdot \vec v$

Beispiel:

Eine Gerade geht durch den Punkt $\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}$ und hat den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix}$.

Dann ist die Gerade: $g:\vec x = \begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix}$

Aufstellen (mit zwei Punkten)

Wenn man zwei Punkte $P$ und $Q$ gegeben hat, muss der Richtungsvektor $\vec v$ berechnet werden. Da die Gerade durch $P$ und $Q$ läuft ist die einfachste Art diesen zu bestimmen: $\vec v = P-Q$ oder $\vec v = Q-P$.
Als Aufpunkt kann $P$ oder $Q$ genommen werden.
Die Gerade ist dann:
$g:\vec x = \overrightarrow{OP} +k\cdot \overrightarrow{PQ}$
oder $g:\vec x = \overrightarrow{OQ} +k\cdot \overrightarrow{PQ}$
oder $g:\vec x = \overrightarrow{OP} +k\cdot \overrightarrow{QP}$
oder $g:\vec x = \overrightarrow{OQ} +k\cdot \overrightarrow{QP}$

Ja, das ist alles die selbe Gerade.

Beispiel:

Eine Gerade geht durch die Punkt $P=\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $Q=\begin{pmatrix} 1\\1\\3\end{pmatrix}$.

Richtungsvektor $\vec v = P-Q = \begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix} $.

Die Gerade ist somit: $g:\vec x = P+k\cdot \vec v= \begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix}$

Spurpunkte

Ein Spurpunkt ist der Schnitt mit einer Koordinatenebenen.
Eine Gerade kann maximal 3 Spurpunkte haben, einen mit der $x_1x_2$-Ebene, einen mit der $x_2x_3$-Ebene und einen mit der $x_1x_3$-Ebene.
In jeder Koordinatenebene ist ein eine Koordinate 0.
Somit erhält man eine Gleichung, die den Wert für $k$ liefert.
Setzt man dieses $k$ in die Geradengleichung ein, erhält man den Spurpunkt.

Beispiel: Spurpunkt in der $x_1x_2$-Ebene ($x_3=0$)

Geben ist die Gerade $g:\vec x = \begin{pmatrix} 3\\-1\\4\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 1\\-2\\2\end{pmatrix}$
Da $x_3=0$ ist liefert die 3. Zeile: $0=4+k\cdot 2\Rightarrow k = -2$
Setzt man $k=-2$ in $g$ ein erhält man den Spurpunkt $S_{x_1x_2} = \begin{pmatrix} 1\\3\\0\end{pmatrix}$.

Einen Sonderfall erhält man, wenn die Gerade parallel zu einer Koordiantenebene verläuft.
Dies erkennt man daran, dass der Richtungsvektor eine 0 enthält, der Aufpunkt aber ungleich 0 für diese Koordinate ist.

Beispiel: Spurpunkt in der $x_2x_3$-Ebene ($x_1=0$)

Geben ist die Gerade $g:\vec x = \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 0\\2\\3\end{pmatrix}$
Da $x_1=0$ ist liefert die 1. Zeile: $0=1+k\cdot 0\Rightarrow 0 = 1$ (unlösbar)
Die Gerade ist also parallel zur $x_2x_3$-Ebene.

Ein weiterer Sonderfall liegt vor, wenn die Gerade in einer Koordinatenebene liegt.
Hier ist der Richtungsvektor für eine Koordinate 0 und auch der Aufpunkt ist 0 für diese Koordinate.

Beispiel: Spurpunkt in der $x_1x_3$-Ebene ($x_2=0$)

Geben ist die Gerade $g:\vec x = \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 5\\0\\3\end{pmatrix}$
Da $x_2=0$ ist liefert die 2. Zeile: $0=0+k\cdot 0\Rightarrow 0 = 0$ (wahr für alle $k$)
Somit liegen alle Punkte von $g$ in der $x_1x_3$-Ebene.

Winkel zwischen Geraden

Der Winkel zwischen zwei Geraden wird mit dem Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnet.
Wenn sich die zwei Geraden schneiden ist dies der Schnittwinkel aber auch bei Geraden, welche sich nicht schneiden kann es sinnvoll sein den Winkel zwischen ihnen zu bestimmen.

Beispiel:

Gegeben: $g:\vec x = \begin{pmatrix} 2\\-1\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1\\3\\5\end{pmatrix}$ und $h:\vec x = \begin{pmatrix} 1\\0\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\1\\2\end{pmatrix}$
Gesucht: Winkel zwischen $g$ und $h$.

Lösung: Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren wird mit dem Skalarprodukt bestimmt $\left(\cos(\alpha)=\dfrac{ \vec u\cdot \vec v }{ |\vec u|\cdot |\vec v| }\right)$ :
$\cos(\alpha) = \dfrac{ \begin{pmatrix} 1\\3\\5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\2\end{pmatrix} } { \left|\begin{pmatrix} 1\\3\\5\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} 0\\1\\2\end{pmatrix}\right| } = \dfrac{1\cdot 0+ 3\cdot 1 + 5\cdot 2}{ \sqrt{1^2+3^2+5^2}\sqrt{0^2+1^2+2^2} }= \dfrac{13}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{5}} = \dfrac{13}{5\sqrt{7}}$
$\cos(\alpha)= \dfrac{13}{5\sqrt{7}}\qquad \Big|\ \cos^{-1}$
$\alpha = 10{,}67^\circ$

Abstand Punkt und Gerade

Der Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Gerade $g: \vec x= a+t\cdot \vec v$ ist am kleinsten, wenn man senkrecht von der Geraden $g$ zum Punkt $P$ läuft.
Der Vektor $\overrightarrow{Pg}$ und der Richtungsvektor der Geraden $v$ stehen somit senkrecht zueinander.
Es gilt: $\overrightarrow{Pg}\cdot \vec v = 0$.
Den unbekannten Parameter $t$ der Geraden können wir mit dieser Gleichung bestimmen.
Danach wird der Abstand über den Betrag des Vektors berechnent: $\left|\overrightarrow{Pg}\right|$

Beispiel:

Gegeben: $P=(1\mid 3\mid 0)$ und $g:\vec x = \begin{pmatrix} 2\\-1\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 3\\3\\2\end{pmatrix}$
Gesucht: Der minimale Abstand zwischen $P$ und $g$

Der Vektor $\overrightarrow{Pg}$ ist somit: $\overrightarrow{Pg} = g-P = \begin{pmatrix} 2\\-1\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 3\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\ 3\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2+3t- 1\\ -1+3t-3\\7+2t-0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+3t\\ -4+3t\\7+2t\end{pmatrix}$
Der Winkel muss 90° sein, also muss $\overrightarrow{Pg}\cdot \vec v=0$ sein:
$\begin{pmatrix}1+3t\\ -4+3t\\7+2t\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\3\\2\end{pmatrix} = 0$
$(1+3t)\cdot 3+ (-4+3t)\cdot 3 + (7+2t)\cdot 2 =0$
$(3+9t) + (-12+9t) + (14+4t) = 0$
$5 + 22t = 0$
$22t = -5$
$t=-\frac{5}{22}$

Setzt man $t=-\frac{5}{22}$ in $\overrightarrow{Pg}$ ein erhält man:
$\begin{pmatrix}1+3\left(-\frac{5}{22}\right)\\ -4+3\left(-\frac{5}{22}\right)\\7+2\left(-\frac{5}{22}\right)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{7}{22}\\ -\frac{103}{22}\\\frac{72}{11}\end{pmatrix} $
Die Länge von $\overrightarrow{Pg}$ ist der minimale Abstand:
$\left|\begin{pmatrix}\frac{7}{22}\\ -\frac{103}{22}\\\frac{72}{11}\end{pmatrix}\right| = \sqrt{ \left(\frac{7}{22}\right)^2+ \left(-\frac{103}{22}\right)^2+ \left(\frac{72}{11}\right)^2 } = \sqrt{\frac{1427}{22}} = \sqrt{64{,}8\overline{63}} \approx 8{,}054 LE $

Der minimale Abstand zwischen $P=(1\mid 3\mid 0)$ und $g:\vec x = \begin{pmatrix} 2\\-1\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 3\\3\\2\end{pmatrix}$ ist $8{,}054 LE$.

Ü-Blatt vom 13.06.2023

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Punkte auf der Geraden bestimmen

Liegt ein Punkt auf der Geraden