Nullstellen des Sinus
Die Gleichung $\sin(x) = d$ hat- zwei Lösungen, wenn $-1\lt d\lt 1$ gilt, also wenn $d$ zwischen -1 und 1 liegt.
- eine Lösung, wenn $d=-1$ oder $d=1$ ist.
- keine Lösung, wenn $d\lt-1$ oder $d\gt 1$ ist.
Ist der Sinus nicht in $y$-Richtung verschoben so ist die erste Nullstelle, diejenige die der Taschenrechner liefert.
Die nächsten Nullstellen liegen immer eine halbe Periode weiter.
Die Lösungen von $a\sin(b(x-c)+c)=0 \Leftrightarrow \sin(b(x-c))=0$ sind also
$x=\sin^{-1}(0)-c+k\cdot\frac\pi{2}b=-c+k\cdot\frac\pi{2}b$ mit $k\in\mathbb{Z}$.
Beispiel:
$f(x)=\sin(\pi x)$ hat die erste Nullstelle bei 0, da $\sin^{-1}(0)=0$ und eine Periodenlänge von
$\frac{2\pi}{\pi}=2$.
Ein halbe Periode ist also 1 und die Nullstellen sind $0, 1, 2, 3, \ldots$.
Ein halbe Periode ist also 1 und die Nullstellen sind $0, 1, 2, 3, \ldots$.
Nullstellen von $y$ verschobenem Sinus
Ist der Sinus in $y$-Richtung verschoben, so ergibt sich die Nullstelle durch Nullsetzen.Formt man $\sin(x)+d=0$ um, erhält man $\sin(x)=-d$.
Die erste Lösung in einer Periode erhält man mittels seiner Umkehrfunktion $\sin^{-1}(-d)$:
Beispiel:
$\begin{array}{rcll}
\sin(x)+\frac12 &=& 0 & \ |\ -\frac12 \\
\sin(x) &=& -\frac12 & \ |\ \sin^{-1}(\dots) \\
x &=& \sin^{-1}(-\frac12) \\
x &=& -\frac{\pi}{6}
\end{array}$
Einheitskeis und Sinus für $\alpha=\frac\pi3$ und $\sin(\frac\pi3)\approx0{,}866$
Wie man in der Abbildung sieht, schneidet eine Waagerechte den Einheitskreis zwei mal.
Der Winkel $x_0$ des ersten Schnittpunkts wird durch $\sin^{-1}$ vom Taschenrechner geliefert.
Den zweiten bekommt man, indem man $\pi-x_0$ rechnet.
Man geht also vom gestreckten Winkel ($\pi$) den Winkel $x_0$ rückwärts.
Im obigen Beispiel ist $x_0=-\frac{\pi}{6}$, somit ist $x_1=\pi-(-\frac{\pi}{6} )=\frac{7\pi}{6}$
Die weiteren Nullstellen erhält man, indem man eine Periode (hier $2\pi$) zu den $x$-Werten addiert.
Die weiteren Nullstellen erhält man, indem man eine Periode (hier $2\pi$) zu den $x$-Werten addiert.
Alle Lösungen
Anstatt nachträglich die $k$-mal die Periode hinzuzuaddieren,kann man bei der Anwendung von $\sin^{-1}$ gleich $k\cdot2\pi$ hinzuaddiert:
Beispiel
$\begin{array}{rcll}
2\sin(\pi(x-1))+1 &=&0 &\quad|\ -1\ |\ :2\\
\sin(\pi(x-1)) &=&-\frac12 &\quad|\ \sin^{-1}\\
\pi(x-1) &=&-\frac\pi6+2k\pi &\quad|\ :\pi\\
x-1 &=&-\frac16+2k &\quad|\ +1\\
x &=&\frac56+2k\\
\end{array}$
Und die zweite Nulltelle ($\pi-\ldots$):
$\begin{array}{rcll}
\sin(\pi(x-1)) &=&-\frac12 &\quad|\ \sin^{-1}\\
\pi(x-1) &=&\pi-\frac\pi6+2k\pi &\quad|\ :\pi\\
x-1 &=& \frac56+2k &\quad|\ +1\\
x &=& \frac{11}6+2k\\
\end{array}$
Allgemein:
Beispiele:
Die Funktion $f(x)=a\cdot\sin(b(x+c))+d$ ist in $x$ und $y$ Richtung gestreckt und verschoben.
Die Berechnung der Nullstellen läuft aber genau gleich:
Die Berechnung der Nullstellen läuft aber genau gleich:
$\begin{array}{rcll}
a\cdot\sin(b(x+c))+d &=& 0 & \ |\ -d \\
a\cdot\sin(b(x+c)) &=& -d & \ |\ :a \\
\sin(b(x+c)) &=& -\frac da & \ |\ \sin^{-1}(\dots) \\
\end{array}$
Immer wenn wir $\sin^{-1}$ anwenden bekommen wir zwei Lösungen:
$\begin{array}{llcll}
b(x_1+c)=\sin^{-1}(-\frac da)+2k\pi & &\text{ und } & b(x_2+c)=\pi-\sin^{-1}(-\frac da)+2k\pi &\\
b(x_1+c)=\sin^{-1}(-\frac da)+2k\pi &|:b & & b(x_2+c)=\pi-\sin^{-1}(-\frac da)+2k\pi &|:b\\
x_1+c=\frac{\sin^{-1}(-\frac da)}b+\frac{2k\pi}{b} &|-c & & x_2+c=\frac{\pi-\sin^{-1}(-\frac da)}b+\frac{2k\pi}{b} &|-c\\
x_1 =\frac{\sin^{-1}(-\frac da)}b-c+\frac{2k\pi}{b} & & & x_2 =\frac{\pi-\sin^{-1}(-\frac da)}b-c+\frac{2k\pi}{b} & \\
\end{array}$
Diese Lösungen existieren, wenn $\left|\frac da\right|\leq 1$ ist.
- Gesucht sind alle Nullstellen von $f(x)=2\sin(3x-1)+1$
Lösung:$\begin{array}{rcll} 2\sin(3x-1)+1&=&0&|-1\\ 2\sin(3x-1)&=&-1&|:2\\ \sin(3x-1)&=&-\frac12&| \sin^{-1}\\ 3x-1 &=& -\frac\pi6+2k\pi & |\text{ 1. Lösung}\\ 3x-1 &=& \pi-(-\frac\pi6)+2k\pi & |\text{ 2. Lösung}\\ 3x-1 &=& \frac{7\pi}6+2k\pi & |\text{ 2. Lösung}\\ \end{array}$Beide Lösungen nach $x$ umformen$\begin{array}{rcl|crcl} 3x-1 &=& -\frac\pi6+2k\pi & & 3x-1 &=& \frac{7\pi}6+2k\pi \\ 3x &=& -\frac\pi6+1+2k\pi & & 3x &=& \frac{7\pi}6+1+2k\pi \\ x_1 &=& -\frac\pi{18}+\frac13+k\frac{2\pi}3 & & x_2 &=& \frac{7\pi}{18}+\frac13+k\frac{2\pi}3 \\ \end{array}$Somit sind in einer Periode die Nullstellen:
$x_1=-\frac\pi{18}+\frac13\approx 0{,}1588\ $ und
$x_2=\phantom{-}\frac{7\pi}{18}+\frac13\approx 1{,}555$Weitere Nullstellen bekommt man, indem man für $k\in\mathbb{Z}$ andere Werte als 0 einsetzt.
Schaubild von $f(x)$ - Gesucht sind alle Nullstellen von $f(x)=-3\sin(\pi x)+1$
Lösung:$\begin{array}{rcll} -3\sin(\pi x)+1&=&0&|-1\\ -3\sin(\pi x)&=&-1&|:(-3)\\ \sin(\pi x)&=&\frac13&| \sin^{-1}\\ \pi x &=& 0{,}33984+2k\pi & |\text{ 1. Lösung}\\ \pi x &=& \pi-0{,}33984+2k\pi & |\text{ 2. Lösung}\\ \pi x &=& 2{,}80176+2k\pi & |\text{ 2. Lösung}\\ \end{array}$Beide Lösungen nach $x$ umformen$\begin{array}{rcl|crcl} \pi x &=& 0{,}33984+2k\pi & & \pi x &=& 2{,}80176+2k\pi \\ x_1 &=& 0{,}10817+2k & & x_2 &=& 0{,}8918+2k \\ \end{array}$Somit sind in einer Periode die Nullstellen:
$x_1=0{,}10817 $ und
$x_2=0{,}8918$Setzt man weiter Werte für $k$ in $x_1$ und $x_2$ ein erhält man weitere Nullstellen.
Schaubild von $f(x)$ mit berechneten Nullstellen (schwarz) und Nullstellen eine Periode weiter (rot) - Gesucht sind die Nullstellen von $f(x)=\frac12\sin(x-3)-1$
Lösung:$\begin{array}{rcll} \frac12\sin(x-3)-1 &=& 0 &|+1\\ \frac12\sin(x-3) &=& 1 &|\cdot 2\\ \sin(x-3) &=& 2 &|\sin^{-1}\\ x-3 &=&\sin^{-1}(2) \end{array}$Keine Lösung, da $\sin^{-1}(2)$ unlösbar ist.Man sieht es schneller daran, dass die $y$-Verschiebung betragsmäßig größer als die Amplitude ist.
Es wird um $-1$ verschoben (also eins nach unten), bei einer Amplitude von $\frac12$.
Und es ist $|-1|\gt \left|\frac12\right|$.
Schaubild von $f(x)$ hat keine Nullstellen - Gesucht sind alle Nullstellen von $f(x)=\sin(x)+1$
Lösung:$\begin{array}{rcll} \sin(x)+1 &=& 0 & |-1\\ \sin(x) &=& -1 &|\sin^{-1}\\ x &=&-\frac\pi2+2k\pi & |\text{ 1. Lösung}\\ x &=&\pi-(-\frac\pi2)+2k\pi & |\text{ 2. Lösung}\\ x &=&\frac{3\pi}2+2k\pi & |\text{ 2. Lösung}\\ \end{array}$Somit sind in einer Periode die Nullstellen:
$x_1=-\frac\pi2+2k\pi\approx -1{,}5708 +2k\pi$ und
$x_2=\phantom{-}\frac{3\pi}2+2k\pi\approx 4{,}7124+2k\pi$Hier ist $x_1$ und $x_2$ gleich.
Setzt man in $x_1$ für $k=1$ ein und in $x_2$ für $k=0$ erhält man beidesmal $x=\frac{3\pi}2$.
Schaubild von $f(x)$