Das Tangentenproblem
Lösungsweg 1: Steigungsdreieck
$ m_1= rac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
$ m_1= rac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Lösungsweg 2: Wertetabelle
Es gilt $x_0=1$ und $f(x_0)=1$
$\begin{array}{l|l|l} h & f(x_0+h) & \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \\\hline \phantom{-{}}1 & f(2)=4 & (4-1)/1 = 3 \\ \phantom{-{}}0{,}5 & 2{,}25 & 1{,}25/0{,}5=2{,}5\\ \phantom{-{}}0{,}25& 1{,}5625 & 0{,}5625/0{,}25=2{,}25\\ \phantom{-{}}0{,}01& 1{,}0201 & 0{,}0201/0{,}01=2{,}1\\ -0{,}01& 0{,}9801 & 1{,}99 \end{array}$
Lösungsweg 3: Grenzwert
Es gilt $x_0=1$ und $f(x_0)=1$
$\begin{array}{l|l|l} h & f(x_0+h) & \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \\\hline \phantom{-{}}1 & f(2)=4 & (4-1)/1 = 3 \\ \phantom{-{}}0{,}5 & 2{,}25 & 1{,}25/0{,}5=2{,}5\\ \phantom{-{}}0{,}25& 1{,}5625 & 0{,}5625/0{,}25=2{,}25\\ \phantom{-{}}0{,}01& 1{,}0201 & 0{,}0201/0{,}01=2{,}1\\ -0{,}01& 0{,}9801 & 1{,}99 \end{array}$
- Den Bruch $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ nennt man Differenzenquotient,
er gibt die mittlere Steigung im Intervall $[x_0; x_0+h]$ an.
$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ $= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ $=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ mit $h=x_1-x_0$ auch $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ - Der Grenzwert für $h\rightarrow0$ heißt Differenzialquotient, dieser
gibt die Tangentensteigung bei $x_0$ an (=Steigung von $f(x)$ bei $x_0$).
$\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ $=\lim\limits_{x_1\rightarrow x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ $=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}$ - Eine Funktion, welche die Steigung von $f(x)$ für jedes $x$ angibt heißt
Ableitung von $f(x)$ oder $f'(x)$.
Es gilt $f'(x_0)=\frac{df}{dx}=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$