Grenzwertregeln (zumindest ein paar)

$\lim\limits_{a\rightarrow b} f(a)$ ist $f(b),\quad$ falls $f(b)$ existiert
$\lim\limits_{a\rightarrow b} c\cdot f(a)=c\cdot \lim\limits_{a\rightarrow b} f(a)$
$\lim\limits_{a\rightarrow b} (f(a)+g(a)) = \lim\limits_{a\rightarrow b} f(a)+ \lim\limits_{a\rightarrow b}g(a)$
$\lim\limits_{a\rightarrow b} (f(a)\cdot g(a)) = \lim\limits_{a\rightarrow b} f(a)\cdot \lim\limits_{a\rightarrow b}g(a)$

Bsp. 1: Steigung von $f(x)=1$ (erwartet: $f'(x)=0$)

Differenzenquotient: $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1-1}{h}=\frac{0}{h}$
$h$ "eliminieren": $\frac{0}{h}=0 = f'(x)$

Bsp. 2: Steigung von $f(x)=2x+1$ (erwartet: $f'(x)=2$)

Differenzenquotient: $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2(x+h)+1-(2x+1)}{h}$
$h$ "eliminieren": $\frac{2x+2h+1-2x-1}{h}=\frac{2h}{h}=2\ =f'(x)$

Bsp. 3: Steigung von $f(x)=x^2$

1. Differenzenquotient: $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$
$h$ "eliminieren": $=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=2x+h$
$h\rightarrow0$:
$2x+h$
$h=0$ setzen
$f'(x)=2x$

Bsp. 4: Tangente an $x^2$ bei $x_0=1{,}5$

Steigung: $f'(1{,}5)=2\cdot 1{,}5=3$
Punkt: $P(1{,}5|f(1{,}5))=(1{,}5|2{,}25)$
PSF: $y=m(x-x_0)+y_0$
$y=3(x-1{,}5)+2{,}25$
$y=3x-4{,}5+2{,}25$
$y=3x-2{,25}$

Bsp. 5: Ableitung von $x^3$

$\begin{array}{l@{=}l} f'(x) & \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & \frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\ & \frac{(x^3+3hx^2+3h^2x+h^3)-x^3}{h}\\ & \frac{3hx^2+3h^2x+h^3}{h}\\ & \frac{h(3x^2+3hx+h^2)}{h}\\ & 3x^2+3hx+h^2\\ \lim\limits_{h\rightarrow0} & 3x^2 \\ \end{array}$