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Globale und lokale Extrema

Lokale Extrema sind Hoch- und Tiefpunkte, da sie lokal den größten/kleinsten $y$-Wert haben.
Liegt z.B. der Hochpunkt bei $(2\mid 1)$, so gibt ein $\epsilon\gt 0$, für dass es kein $x\in[2-\epsilon;\; 2+\epsilon]$ für das $f(x)\gt 2$ ist.
Auf dem Definitionsbereich von $f$ kann es jedoch größere $y$-Werte geben als die der lokalen Extrema.
Den größten/kleinsten $y$-Wert nennt man globales Maximum/globales Minimum.
Diese größeren/kleineren Werte liegen an den Rändern des Definitionsbereich.
Beispiele:
  1. Gegeben $f(x)=-x^2+1$ mit $x\in[1;\,4]$.
    $f'(x)=-2x$ (streng monoton fallend auf $\mathbb{D}$)
    Lokales Maximum bei $x=0\notin\mathbb{D}$, somit ist bei $x=1$ mit $y=0$ das globale Maximum.
    Das globale Minimum wäre bei $x=4$ mit $f(4)=-15$.
  2. $f(x)=e^x$ hat kein lokales Minimum
    aber ein globales bei $x=-\infty$ mit $y=0$.
    Das globale Maximum wäre bei $y=\infty$
  3. $f(x)=\frac1x$ mit $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
    hat kein lokales Extremumg (da $f'(x)\neq 0$).
    Da $\mathbb D =\mathbb R\setminus\{0\}$ ist könnte bei $x=0$ ein globales Minimum/Maximum liegen.
    Und tatsächlich geht $\frac1x\rightarrow -\infty$, wenn $x$ von links gegen 0 geht.
    Außerdem geht $\frac1x\rightarrow +\infty$, wenn $x$ von rechts gegen 0 geht.