Extrema

Lokale Extrempunkte oder Extrema sind die Punkte auf dem Graph einer Funktion, die die größten oder kleinsten $y$-Werte in ihrer Umgebung haben.
Die Extrempunkte unterteilen sich in Hochpunkte und Tiefpunkte.

Jeder Extrempunkt hat eine waagerechte Tangente. Somit gilt für jeden Extrempunkt $EP(x_1\mid y_1)$, dass $f'(x_1)=0$ ist.
Da die Funktion vor einem Hochpunkt steigt und danach fällt hat die 1. Ableitung einen Vorzeichenwechsel von + nach -.
Dies bedeutet, dass die 1. Ableitung 0 ist und fällt.
Bei einem Tiefpunkt fällt die Funktion zuerst und steigt danach. Somit hat die 1. Ableitung einen Vorzeichenwechsel von - nach +.
Dies bedeutet, dass die 1. Ableitung 0 ist und steigt.

Eine Funktion mit 2 Hochpunkten und 2 Tiefpunkten

Funktionsgraph mit 4 Extrema, 2 Hoch- und 2 Tiefpunkten

Extrema berechnen

Um Extrempunkte zu berechnen, setzt man die 1. Ableitung Null (also $f'(x)=0$) und löst nach $x$ auf.
Damit bekommt man alle Punkte des Funktionsgraphen mit einer waagerechten Tangente.

Nun prüft man für jeden $x$-Wert, ob die 1. Ableitung einen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat.
Wenn der Vorzeichenwechsel von + nach - geht ist es ein Hochpunkt.
Wenn der Vorzeichenwechsel von - nach + geht ist es ein Tiefpunkt.
Wenn es keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle gibt ist es kein Extremum.

Eine Funktion und ihre Ableitung mit markierten Vorzeichenwechseln

Funktion (blau), Ableitung (grau) und die Vorzeichenwechseln von $f'(x)$

In der Abbildung sieht man das Schaubild der Funktion in blau und das der Ableitung in grau (gestrichelt).
Bei $x=-1$ hat die Funktion einen Tiefpunkt und die erste Ableitung eine Nullstelle, bei der sie das Vorzeichen von - nach + wechselt.
Bei $x=0$ hat die Funktion einen Hochpunkt und die erste Ableitung eine Nullstelle, bei der sie das Vorzeichen von + nach - wechselt.
Bei $x\approx 0{,}98$ hat die Funktion einen Tiefpunkt und die erste Ableitung eine Nullstelle, bei der sie das Vorzeichen von - nach + wechselt.
Bei $x=2$ hat die Funktion einen Hochpunkt und die erste Ableitung eine Nullstelle, bei der sie das Vorzeichen von + nach - wechselt.

Die Kurve ist also bei einem Hochpunkt immer rechstgekrümmt und linksgekrümmt bei einem Tiefpunkt.

Notwendiges Kriterium

Das notwendige Kriterium für einen Extrempunkt ist $f'(x)=0$.
Dies ist notwendig, weil wir sonst keine waagerechte Tengente haben.
Liegt zusätzlich noch ein Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ vor ist es ein Extrema.
Ist der VZW von $+$ nach $-$ so ist es ein Hochpunkt.
Ist der VZW von $-$ nach $+$ so ist es ein Tiefpunkt.

Hinreichendes Kriterium

Das hinreichende Kriterium betrachtet die zweite Ableitung an den $x$-Werten der Extrema.
Ist $f''(x)\lt 0$ so fällt $f'$ und somit hat man einen Vorzeichenwechsel von + nach -.
Ist $f''(x)\gt 0$ so steigt $f'$ und somit hat man einen Vorzeichenwechsel von - nach +.

Es liegt also ein

Hochpunkt vor, wenn $f'(x)=0$ und $f''(x)\lt 0$ ist
Tiefpunkt vor, wenn $f'(x)=0$ und $f''(x)\gt 0$ ist
Ist $f'(x)=0$ und $f''(x)= 0$, so muss man auf einen Vorzeichenwechsel prüfen.

Als Merkregel dienen uns diese zwei Smileys:

Fröhlicher Smiley hat einen Tiefpunkt als Mund. Tiefpunkt: 2.Ableitung ist positiv.

Bei Tiefpunkten (wie der Mund) ist $f''(x)\gt 0$
also positiv, so wie der Smiley

Trauriger Smiley hat einen Hochpunkt als Mund. Hochpunkt: 2.Ableitung ist negativ.

Bei Hochpunkten (wie der Mund) ist $f''(x)\lt 0$
also negativ, so wie der Smiley

Eine Funktion und ihre erste und zweite Ableitung

$f(x)$ (blau), $f'(x)$ (grau) und $f''(x)$ (rot)
Am HP gilt $f'(x)=0$ und $f''(x)\lt 0$
Am TP gilt $f'(x)=0$ und $f''(x)\gt 0$