Die Varianz
Der Erwartungswert $E(X)$ sagt wenig über die Verteilung der Ereignisse aus.
Die Noten in einer Klasse mit 10 SuS,
mit einem Schnitt 7 Punkte
kann wie folgt aufgeteilt sein:
- $10\times 7$ Punkte
- $5\times 0$ und $5\times 14 \ra \frac{5\cdot 14+5\cdot 0}{10} = 7$
- $4\times 15$; $1\times 10$ und $5\times 0\ra \frac{4\cdot 15+10+5\cdot 0}{10}=7$
Ein Maß für die Ungleichheit der Verteilung ist die Varianz.
Dies ist der quadratische Abstand von jedem Wert der Zufallsvariable zum
Erwartungswert als gewichtete Summe.
$\begin{aligned}
\sigma^2(X) &= (E(X)\!-\!x_0)^2\cdot P(X\!=\!x_0)\! +\!
(E(X)\!-\!x_1)^2\cdot P(X\!=\!x_1)\! +\! \cdots\! +\!
(E(X)\!-\!x_n)^2\cdot P(X\!=\!x_n) \\
&=\sum\limits_{i=0}^n (E(X)-x_i)^2\cdot P(X=x_i)
\end{aligned}
$
Das Quadrat sorgt dafür, dass Abweichungen in die eine Richtung sich
nicht durch Abweichungen in die andere Richtung aufheben.
Größere Abweichungen fallen stärker ins Gewicht und Abweichungen
$\lt 1$ weniger stark.
Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sigma^2\;}$ ist die Wurzel
aus der Varianz.
Beispiel für Varianzen:
- $10\times 7$ Punkte
$\ra (E(X)-7)^2\cdot P(X=7) = 0\cdot 1=0$
$\sigma = 0$
- $5\times 0$ und $5\times 14 \ra \frac{5\cdot 14+5\cdot 0}{10} = 7$
$\begin{array}[t]{rl}
\ra \sigma^2=&(E(X)-0)^2\cdot P(X=0)+(E(X)-14)^2\cdot P(X=14) \\
=& (7-0)^2\cdot\frac12 + (7-14)^2\cdot\frac12 \\
=&49/2+49/2 \\
=&49 \\
\end{array}
$
$\sigma = 7$
- $4\times 15$, $1\times 10$ und $5\times 0$
$\begin{array}[t]{rl}
\ra \sigma^2=&(E(\!X\!)\!-\!0)^2\cdot P(X\!=\!0) + (E(\!X\!)\!-\!10)^2\cdot P(X\!=\!1) + (E(\!X\!)\!-\!15)^2\cdot P(X\!=\!15) \\
=& (7-0)^2\cdot\frac{4}{10} + (7-10)^2\cdot\frac{1}{10} + (7-15)^2\cdot\frac{5}{10} \\[2mm]
=&\frac{49\cdot 4}{10} + \frac{9\cdot 1}{10} + \frac{64\cdot 5}{10} \\
=&52{,}5 \\
\end{array}
$
$\sigma = 7{,}25$
- maximale Varianz bei Noten: Die Hälfte hat 15 und die andere Hälfte 0
Punkte.
Der Schnitt ist 7,5 Punkte die Varianz ist
$\sqrt{\frac12(7{,}5-15)^2 + \frac12(7{,}5-0)^2\;}
= \sqrt{(7{,}5)^2\;}
=7{,}5$