< Zufallsvariable
Varianz >

Erwartungswert

Der Erwartungswert $E(X)$ ist der Durchschnitt von allen $X=x_i$ gewichtet mit den Wkts $P(X=x_i)$
$E(X)=\sum\limits_{i=0}^n P(X=x_i)\cdot x_i$
Beispiel:
  1. Eine Münze wird geworfen.
    Bei Zahl gewinnt man 5€.
    Bei Wappen verliert man 1€.

    Wie hoch ist der erwartete Gewinn pro Spiel?
    Lösung
    $E(X) = P(X=-1)\cdot(-1)+P(X=5)\cdot 5 = \frac12\cdot(-1)+\frac12\cdot5 = 2$€.
  2. Ein Glücksrad hat folgende Gewinne:
    Glücksrad
    Glücksrad
    Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn?
    Lösung
    $\begin{array}{l@{\,}l} E(X) &= \frac{60}{360}\cdot 100 + \frac{120}{360}\cdot 10 + \frac{180}{360}\cdot 0\\[1mm] &= \frac{100}{6} + \frac{10}{3}\\[1mm] &= \frac{50}{3} + \frac{10}{3}\\[1mm] &= \frac{65}{3} \approx 21{,}66\\ \end{array} $

Gerechte Spiele

Ein Spiel heißt gerecht, wenn der Erwartungswert 0 ist.
Dies kann erreicht werden indem der zu zahlende Einsatz (Verlust) gleich den erwarteten Gewinnen gesetzt wird.
Wie hoch muss der Einsatz bei obigem Glücksrad sein, damit es ein gerechtes Spiel ist?
Bei einem Einsatz von 21,66€ macht der Spieler $0{,}00\bar 6$€ Gewinn/Spiel
Bei einem Einsatz von 21,67€ macht der Betreiber $0{,}00\bar 3$€ Gewinn/Spiel
Bei einem Einsatz von $21{,}\bar 6$€ ist es gerecht...