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Vier-Felder-Tafel

Die Vier-Felder-Tafel hat 9 Felder und stellt für zwei Ereignisse folgende Zusammenhänge dar:
$ \begin{array}{l||c|c||c} & \overline B & B & \\\hline \overline A & P(\overline A\cap \overline B) & P(\overline A\cap B) & P(\overline A) \\\hline A & P( A\cap \overline B) & P( A\cap B) & P(A) \\\hline & P(\overline B) & P(B) & 1 \\ \end{array} $
Die unterste Zeile und letzte Spalte ist die Summe der Werte darüber bzw. davor, den $P(A\cap \overline B) + P(A\cap B) = P(A)$
Anstatt der Wkt kann auch die Häufigkeit der Ereignisse eingetragen werden.
Zusammenhang 4-Felder-Tafel anhand von Venn-Diagrammen
Zusammenhang 4-Felder-Tafel anhand von Venn-Diagrammen
Beispiele:
  1. Vervollständige folgende 4-Felder-Tafel:
    $\def\arraystretch{1.5} \begin{array}[t]{l|c|c|c} & \overline B & B & \\\hline \overline A & 10\% & \hspace{1cm} & 70\% \\\hline A & & & \\\hline & 30\% & & 100\% \\ \end{array} $
    Lösung:
    $ P(A\cap\bar B)=30-10=20\\ P(B)=100-30=70\\ P(A)=100-70=30\\ P(A\cap B)=30-20=10\\ P(\bar A\cap B)=70-10=60\\ $
    Frage: Wie wahrscheinlich ist $P_A(B)$?
    Lösung: $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}1}{0{,}3}=\frac13$
  2. Gegeben ist folgende 4-Felder-Tafel.
    Gesucht ist $P_{\bar B}(\bar A)$
    $ \begin{array}[t]{l||c|c||c} & \overline B & B & \\\hline \overline A & 22 & & \\\hline A & & 4& \\\hline & 182& & 200 \\ \end{array} $
    Lösung: 4-Felder-Tafel Vervollständigen
    $ \def\arraystretch{1.5} \begin{array}[t]{l||c|c||c} & \overline B & B & \\\hline \overline A & 22& 14& 36\\\hline A & 160& 4& 164\\\hline & 182& 18& 200 \\ \end{array} $
    $P_{\bar B}(\bar A) = \frac{P(\bar A\cap \bar B)}{P(\bar B)} =\dfrac{\;\frac{22}{200}\;}{\frac{182}{200}}=\frac{22}{182}\approx 12{,}09\% $
  3. Ein medizinischer Test liefert folgende Vier-Felder-Tafel:
    $\def\arraystretch{1.5} \begin{array}[t]{l||c|c||c} & \text{gesund} & \text{krank} & \\\hline \text{Test neg} & 0{,}80 & 0{,}01 & 0{,}81\\\hline \text{Test pos} & 0{,}15 & 0{,}04 & 0{,}19\\\hline & 0{,}95 & 0{,}05 & 1 \\ \end{array} $
    • Sie bekommen einen negativen Test $\bar T$, mit welcher Wkt sind sie krank $\bar g$?
      Lösung: $P_{\bar T}(\bar g) = \frac{0{,}01}{0{,}81}\approx 12{,}35\%$
    • Sie bekommen einen positiven Test, mit welcher Wkt sind sie krank?
      Lösung: $P_{T}(\bar g) = \frac{0{,}04}{0{,}19}\approx 21{,}05\%$
    • Sie sind krank, mit welcher Wkt sagt das auch der Test?
      Lösung: $P_{\bar g}(T) = \frac{0{,}04}{0{,}05}\approx 80\%$
    • Sie sind gesund, mit welcher Wkt widerspricht der Test?
      Lösung: $P_{g}(T)=15{,}79\%$

Baum und 4-Felder-Tafel

Will man den Baum zu dieser 4-Felder-Tafel zeichnen, hat man zwei Möglichkeiten:
Man beginnt mit $T$ oder $G$ in der ersten Ebene.
$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}[t]{l||c|c||c} & \bar G & G & \\\hline \bar T & 0{,}80 & 0{,}01 & 0{,}81 \\\hline T & 0{,}15 & 0{,}04 & 0{,}19 \\\hline & 0{,}95 & 0{,}05 & 1 \\ \end{array} $

Die Wahrscheinlichkeiten für die erste Ebene und die Blätter bekommt man aus der 4-Felder-Tafel.
Die Wahrscheinlichkeiten für die zweite Ebene muss man über die Pfadregel berechnen.