Multiplikationssatz und Unabhängigkeit
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt
\[P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \Leftrightarrow P(A\cap B)=P_A(B)\cdot P(A)\]
Wenn das Ereignis $A$ die Wahrscheinlichkeit von $B$ nicht beeinflusst,
dann ist $A$ (stochastisch) unabhängig von $B$.
dann ist $A$ (stochastisch) unabhängig von $B$.
Mathematisch ist Unabhängigkeit: $P_A(B)= P(B)$
Unabhängigkeit
Gilt $P_A(B)= P(B)$, so sind $A$ und $B$ unabhängig voneinander.
Dann gilt auch: $P(A\cap B) = P(B)\cdot P(A)$
Und $P_B(A) = P(A)$
Gilt $P_A(B)= P(B)$, so sind $A$ und $B$ unabhängig voneinander.
Dann gilt auch: $P(A\cap B) = P(B)\cdot P(A)$
Und $P_B(A) = P(A)$
Satz von Bayes
Der Satz von Bayes besagt $P_A(B)\cdot P(A) = P_B(A)\cdot P(B)$
Herleitung:
$P_A(B) =\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$
$=\dfrac{P(B\cap A)}{P(A)}$
$\ra P_A(B)\cdot P(A) = P_B(A)\cdot P(B)$
$=\dfrac{\frac{P_B(B\cap A)}{P(B)}P(B)}{P(A)}$
$=\dfrac{P_B(A)\cdot P(B)}{P(A)} $$\ra P_A(B)\cdot P(A) = P_B(A)\cdot P(B)$
Baumdiagramm und bedingte Wkt
Im Baumdiagramm haben wir den Additionssatz nicht berücksichtigt.
Dies liegt daran, dass wir im Baum immer disjunkte Ereignisse betrachtet haben.
Dies liegt daran, dass wir im Baum immer disjunkte Ereignisse betrachtet haben.
kleiner Wkt-Baum
Somit ist die Schnittmenge zwischen zwei benachbarten Ästen immer leer
und es gilt der Spezialfall $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$
und es gilt der Spezialfall $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$
Die Multiplikation geht im Baumdiagramm, da hier immer bedingte Wkts
vorkommen.
Wkt-Bäume enthalten immer bedingte Wkts.