Spurpunkte

Die Spurpunkte einer Ebene $E$ sind die Schnittpunkte mit den Koordinaten-Achsen.

Für der Spurpunkt mit der

$x_1$-Achse gilt: $x_2=0$ und $x_3=0$
$x_2$-Achse gilt: $x_1=0$ und $x_3=0$
$x_3$-Achse gilt: $x_1=0$ und $x_2=0$

Beispiel:

Gegeben ist $E:\vec x= \vek231+r\vek131 +s\vek202$

Spurpunkt $x_1$-Achse:
$x_2=0 \ra 0 = 3+3r+0s$
$x_3=0 \ra 0 = 1+1r+2s$
$\ra r\vekII31 + s\vekII02 = \vekII{-3}{-1}$
$\ra \left(\begin{array}{rr|r} 3&0&-3\\ 1&2&-1\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1&0&-1\\ 1&2&-1\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1&0&-1\\ 0&2& 0\\ \end{array}\right)$ $\ra \begin{array}{l} r=-1\\ s=0\\ \end{array} $

Einsezten: $\vek231-1\vek131 +0\vek202 = \vek100 $ $\ra SP_1=\pkt100$
Spurpunkt $x_2$-Achse:
$x_1=0 \ra 0 = 2+1r+2s$
$x_3=0 \ra 0 = 1+1r+2s$
$\ra r\vekII11 + s\vekII22 = \vekII{-2}{-1}$
$\ra \left(\begin{array}{rr|r} 1&2&-2\\ 1&2&-1\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1&2&-2\\ 0&0&1\\ \end{array}\right)$ $\ra \text{ unlösbar} $

Kein Spurpunkt in der $x_2$-Achse $\ra E$ ist parallel zur $x_2$-Achse.
Spurpunkt $x_3$-Achse:
$x_1=0 \ra 0 = 2+1r+2s$
$x_2=0 \ra 0 = 3+3r+0s$
$\ra r\vekII13 + s\vekII20 = \vekII{-2}{-3}$
$\ra \left(\begin{array}{rr|r} 1&2&-2\\ 3&0&-3\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1& 2&-2\\ 0&-6& 3\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1&2&-2\\ 0&1& -\frac12\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1&0&-1\\ 0&1& -\frac12\\ \end{array}\right)$ $\ra \begin{array}{l} r=-1\\ s=-\frac12\\ \end{array} $

Einsezten: $\vek231-1\vek131 -\frac12\vek202 = \vek00{-1}$ $\ra SP_1=\pkt00{-1}$

Spurpunkte und Ebene

Beispiel 2:
$E:\vec x = \vek{2}{-2}{1} + r\vek{1}{1}{-2} + s\vek{1}{2}{-3}$

$x_1$-Achse $\ra \left(\begin{array}{rr|r} 1& 2& 2\\ -2&-3&-1\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1& 2& 2\\ 0& 1& 3\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1& 0&-4\\ 0& 1& 3\\ \end{array}\right)$
$\ra SP_1=\pkt{1}{0}{0} $

$x_2$-Achse $\ra \left(\begin{array}{rr|r} 1& 1&-2\\ -2&-3&-1\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1& 1&-2\\ 0&-1&-5\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1& 0&-7\\ 0& 1& 5\\ \end{array}\right)$
$\ra SP_2=\pkt{0}{1}{0} $

$x_3$-Achse $\ra \left(\begin{array}{rr|r} 1&1&-2\\ 1&2& 2\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1&1&-2\\ 0&1& 4\\ \end{array}\right)$ $\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1&0&-6\\ 0&1& 4\\ \end{array}\right)$
$\ra SP_3=\pkt{0}{0}{1} $

Spurpunkte und Ebene