Lage von Ebene zu Gerade

Will man wissen, wie eine Ebene $E$ zu einer Geraden $g$ liegt, so setzt man diese gleich $E=g$.
Hieraus entsteht ein LGS.
Bringt man die Ortsvektoren nach rechts und die Richtungsvektoren nach links,
kann man das LGS in Matrixschreibweise lösen.

Mögliche Fälle

Ist das LGS komplett gelöst gibt es folgende 3 Fälle:

Schnittpunkt:

$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & r\\ 0 & 1 & 0 & s\\ 0 & 0 & 1 & t \end{array}\right)$

Eindeutige Werte für $r, s$ und $t$

keine Lösung ($g\parallel E$):

$\left(\begin{array}{rrr|l} 1 & 0 & 0 & r\\ 0 & 1 & 0 & s\\ 0 & 0 & 0 & t\neq 0 \end{array}\right)$

Unlösbar, da die 3. Zeile $0=1$ ergibt.

Gerade $g$ ist in $E$:

$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & z_1& z_2& z_3\\ 0 & 1 & z_4& z_5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Hier ist $t$ unbestimmt, somit ist die Lösung eine Gerade und zwar genau die Gerade $g$.

Beispiel
gegeben:

Gerade $g:\ \vec x = \vek102+t\vek12{-1}$ und

Ebene $E:\ \vec x = \vek242+r\vek22{-1}+s\vek101$

Lösung:

Gleichsetzen:
$\vek242+r\vek22{-1}+s\vek101=\vek102+t\vek12{-1}$
Variablen nach links, Konstanten nach rechts:
$r\vek22{-1}+s\vek101-t\vek12{-1}=\vek102-\vek242$

Minus in den Vektor bringen und Ortsvektoren verrechnen:
$t\vek22{-1}+r\vek101+t\vek{-1}{-2}{1}=\vek{-1}{-4}{0}$
LGS lösen
$\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & -1\\ 2 & 0 & -2 & -4\\ -1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$ $\sim\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right)$ $\sim\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & -2 & -10 \end{array}\right)$ $\sim\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right)$
$\sim\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right)$ $\sim\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 0 & 0 & 6\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right)$ $\sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right)$
Somit ist $t=5$
in $g$ eingesetzt ist der Schnittpunkt: $P\pkt{6}{10}{-3}$