Abstand von Punkt zu Gerade
Hier gibt es zwei Möglichkeiten.
Die erste bestimmt den Punkt $P_g$ auf $g$ von dem ein senkrechter Vektor von $g$ zu $P$ geht.
Die Länge $|\overrightarrow{P_gP}|$ ist dann der minimale Abstand.
Die zweite stellt eine Ebene in Normalenform auf, mit Aufpunkt $P$ und
dem Richtungsvektor von $g$ als Normalenvektor.
Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden liefert den Punkt $P_g$.
Die Länge $|\overrightarrow{P_gP}|$ ist dann der minimale Abstand.
Erste Möglichkeit
Der kürzeste Vektor von $g:\ \vec x=\vec p+t\cdot\vec v$ zu $P$ muss senkrecht auf $gS stehen.
Somit geht man wie folgt vor:
- Schreibe $\overrightarrow{Pg}=g-P$ als einen Vektor $\vec w_t$
- Löse $\vec w_t\cdot \vec v=0$ nach $t$ auf
- Setze $t$ in $\vec w_t$ ein und bestimme $|\vec w_t|$,
dies ist der Abstand
Beispiel:
Gegeben:
$g:\ \vec x = \vek104+t\cdot\vek2{-1}1$ und $P\pkt201$.
Lösung:
- $\vec w_t = \overrightarrow{Pg} = \vek{1+2t-2}{0-t-0}{4+t-1}
= \vek{2t-1}{-t}{t+3}$
- $\vec w_t\cdot \vec v=0$
$\vek{2t-1}{-t}{t+3}\cdot\vek2{-1}1=0$
$(2t-1)\cdot 2+(-t)\cdot(-1)+(t+3)\cdot 1=0$
$6t+1=0$
$t=-\frac16$
-
$|w_{-\frac16}|
=\vekb{2\left(-\frac16\right)-1}{-\left(-\frac16\right)}{\left(-\frac16\right)+3}
=\vekb{-\frac43}{\frac16}{\frac{17}6}
$
$=\sqrt{\left(-\frac43\right)^2+\left(\frac16\right)^2+\left(-\frac{17}6\right)^2}$
$=\sqrt{\frac{59}{6}}\approx 3{,}13581462$
Zweite Möglichkeit
Der kürzeste Vektor von $g:\ \vec x=\vec p+t\cdot\vec v$ zu $P$ muss senkrecht auf $gS stehen.
Somit geht man wie folgt vor:
- Erstelle $E:\ (\vec x-\overrightarrow{OP})\cdot \vec v=0$
Diese steht senkrecht auf $g$ und enthält $P$.
-
Setze $g$ für $\vec x$ in $E$ ein.
- Löse nach $t$ auf
- Setzte $t$ in $g$ ein, somit erhälst du den Punkt $Q$
- Der minimale Abstand ist $|\overrightarrow{QP}|$
Beispiel
Gegeben:
$g:\ \vec x = \vek104+t\cdot\vek2{-1}1$ und $P\pkt201$.
Lösung:
-
$E:\ \vec x = \left(\vec x-\vek201 \right)\vek2{-1}1=0$
$\ra 2x_1-x_2+x_3=5$
- $g=\vek{1+2t}{-t}{4+t}$ in $E$ einsetzen:
$2(1+2t)-(-t)+(4+t)=5$
$\ra 6t+6=5$
$\ra t=-\frac16$
-
$t=-\frac16$ in $g$ einsetzen:
$\overrightarrow{OQ}=\vek104-\frac16\cdot\vek2{-1}1=\vek{2/3}{1/6}{23/6}$
-
$|\overrightarrow{QP}|=\vekb{4/3}{-1/6}{-19/6}$
$|\overrightarrow{QP}|=\sqrt{\left(-\frac43\right)^2+\left(\frac16\right)^2+\left(-\frac{17}6\right)^2}$
$=\sqrt{\frac{59}{6}}\approx 3{,}13581462$