Punkt zu Ebene
Ist eine Ebene in Normalenform, so
gibt deren Term $(\vec x-\vec p)\vec n$
den Abstand von $A\pkt{a_1}{a_2}{a_3}$ zur Ebene
an, wenn $\vec n$ normiert ist.
Sonst muss man noch durch $|\vec n|$ teilen.
Man versteht dies sehr gut, wenn man sich die geometrische
Interpretation des Skalarprodukts nochmal ansieht.
Hier wird ja durch $(\vec x-\vec p)\cdot\vec n$ der
Vektor $\vec n$ auf $\vec x-\vec p$ projiziert.
Somit ist $(\vec x-\vec p)\cdot \vec n$ der Abstand von $\vec x$
zu $E$ relativ zu $\vec n$.
Formel:
$d=\left|\dfrac{(\vec a-\vec p)\vec n}{|\vec n|}\right|
=\dfrac{|(\vec a-\vec p)\vec n|}{|\vec n|}
$
Somit ist der Abstand in Koordinatenform von
$A\pkt{a_1}{a_2}{a_3}$ zu $E:\ n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-b=0$:
$d=\left|\dfrac{n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3-b}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}\right|$
Beide Formeln stehen in der Merkhilfe.
Beispiel:
gegeben:
$P\pkt124$ und
$E\ :\left(\vec x-\vek0{-2}{3}\right)\cdot\vek{-2}{1}{0}=0$
Abstand:
$P$ in $E$ einsetzen:
$ \left(\vek124-\vek0{-2}{3}\right)\cdot\vek{-2}{1}{0} $
$= \vek141\cdot\vek{-2}{1}{0} $
$= -2+4+0 = 2$
Durch $|\vec n|$ teilen:
$\frac2{|\vec n|}=\frac2{\sqrt{(-2)^2+1^2+0^2}}
=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}894$