Wurzelgleichung

Beispiele:

$\sqrt x= -2$ quadrieren
$ x = 4$
Probe $\sqrt 4 = 2 \neq -2$
Diese Gleichung hat keine Lösung!
$3\cdot \sqrt{x-2}=x$
Quadriert man beide Seiten erhält man: $3^2(x-2)=x^2 \Leftrightarrow 0=x^2-9x+18$
Diese Gleichung hat die Lösungen $x_1=3$ und $x_2=6$.
Probe:
mit $x_1=3$: $3\cdot \sqrt{3-2}=3 \Leftrightarrow 3=3$
mit $x_2=6$: $3\cdot \sqrt{6-2}=6 \Leftrightarrow 6=6$
$\sqrt x = \sqrt{4+3x}$
Durch quadrieren: $x=4+3x$
Mit der Lösung $x_1=-2$.
Probe:
$\sqrt{-2} = \sqrt{4+3(-2)}$ $\Leftrightarrow \sqrt{-2}=\sqrt{-2}$
ist nicht lösbar, daher ist -2 keine Lösung.
$\sqrt{x} = x-2$
Quadrieren: $x=(x-2)^2\Leftrightarrow x^2-5x+4=0$
Lösungskandidaten: $x_1=1$ und $x_2=4$
Probe:
mit $x_1$: $\sqrt{1} = 1-2$ $\Leftrightarrow 1=-1$
ist keine Lösung.
mit $x_1$: $\sqrt{4} = 4-2$ $\Leftrightarrow 2=2$
ist eine Lösung.

Isolieren und Quadrieren

Variante 1 (gleich quadrieren)
$\begin{array}{rcll} \sqrt{x}+3 &=& 4x &\ |\ ^2\\ x + 6\sqrt{x}+9 &=&16x^2 &\ | -x\ |-9\\ 6\sqrt{x} &=&16x^2-x-9 &\ |\ ^2\\ 36x &=&(16x^2-x-9)^2 &\ | \\ 36x &=&256 x^4 - 32 x^3 - 287 x^2 + 18 x + 81 &\ | -36x\\ 0 &=&256 x^4 - 32 x^3 - 287 x^2 - 18 x + 81 & \\ \end{array} $
Ab hier hat man ein Problem. Zwar gibt es eine Lösungsformel für Polynome 4. Grades, aber wer kennt die schon?
Die Lösungskandidaten wären: $x_1=1$ und $x_2=\frac{9}{16}$

Variante 2 (erst isolieren)
$\begin{array}{rcll} \sqrt{x}+3 &=& 4x &\ | -3\\ \sqrt{x} &=& 4x-3 &\ |\ ^2\\ x &=& 16x^2-24x+9 &\ |-x\\ 0 &=& 16x^2-25x+9 &\ \\ \end{array}$
Löst man die quadratische Gleichung erhält man:
$x_1=\frac{9}{16}$ und $x_2=1$

Die Probe ergibt für $x_1$: $\sqrt{\frac{9}{16}}+3= 4\frac{9}{16} $ $\Leftrightarrow \frac34+3=\frac94$ $\Leftrightarrow \frac{15}4=\frac94$
Somit ist $x_1$ keine Lösung.

Die Probe ergibt für $x_2$: $\sqrt{1}+3= 4\cdot 1 $ $\Leftrightarrow 4=4 $
Somit ist $x_2$ eine Lösung.

Aufgaben

Löse $\sqrt{x}+2x=10$

zur Kontrolle: $x=4$
Löse $\sqrt{x}+\sqrt{x+7}=7$

zur Kontrolle: $x=9$
Löse $\sqrt{x-1}+7=x$

zur Kontrolle: $x=10$
Löse $2\sqrt{x+1}-\sqrt{x+6}=1$

zur Kontrolle: $x=3$
Löse $3\sqrt{x+5}=5-x$

zur Kontrolle: $x=-1$
Löse $\sqrt{2x-3}+2\sqrt{x+10}=11$

zur Kontrolle: $x=6$