Ungleichung
Eine Ungleichung verbindet zwei Terme mittels eines Vergleichszeichen wie:
> (größer als), < (kleiner als), ≥ (größer oder gleich) und ≤ (kleiner oder gleich).
Beispiele:
$3\lt 5$
$x\geq 2$
$\frac 13\leq 2a$
$a\gt b$
Eigenschaften (seien $a,b,c\in\mathbb R$)
Reflexivität: $a\leq a$
Beweis
Da $a\leq a$ per Definition bedeutet, dass $a\lt a \vee a=a$ gilt,
und $a=a$ wahr ist, gilt auch $a\leq a$.
$a\leq a$ ist somit aber eine schwächere Aussage als $a=a$.
Transitivität: Aus $a\leq b$ und $b\leq c$ folgt: $a\leq c$
Antisymmetrie: Aus $a\leq b$ und $b\leq a$ folgt $a=b$
Linearität: für alle $a,b\in \mathbb R$ gilt: $a\leq b$ oder $b\leq a$
Wenn die bisherigen vier Eigenschaften für eine Menge $\mathbb M$ gelten, dann hat $\mathbb M$ eine Totalordnung.
Die natürlichen Zahlen $\mathbb N$, die ganzen Zahlen $\mathbb Z$, die rationalen Zahlen $\mathbb Q$ und die reellen Zahlen $\mathbb R$ sind Totalordnungen.
Wenn man in den Eigenschaften $\leq$ durch $\lt$ ersetzt spricht man von einer strikten Totalordnung.
Rechenregeln:
$a\lt b \Leftrightarrow b\gt a$
Eine Ungleichung kann also von beiden Seiten gelesen werden.
Beispiel:
Aus $3\lt 5$ folgt $5\gt 3$
$a\lt b \Leftrightarrow a+c\lt b+c$
Die Relation bleibt gleich, wenn man auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert.
Beispiel:
Aus $3\lt 5$ folgt $3+4\lt 5+4$, also $7\lt 9$
Aus $a \lt b$ und $c\lt d$ folgt: $a+c\lt b+d$
Zwei Ungleichungen können addiert werden.
Beispiel:
Aus $3\lt 5$ und $1\lt 2$ folgt $3+1 \lt 5+2$
Aus $a \lt b$ und $c\gt 0$ folgt: $ac\lt bc$
Beide Seiten einer Ungleichung können mit einer positiven Zahl multipliziert werden ohne dass sich das Relationszeichen ändert.
Dies gilt analog für die Division.
Beispiel:
Aus $3\lt 5$ folgt $3\cdot2 \lt 5\cdot2$
Aus $a \lt b$ und $c\lt 0$ folgt: $ac\gt bc$
Werden beide Seiten einer Ungleichung mit der gleichen negativen Zahl multipliziert dreht sich das Relationszeichen um!
Dies gilt analog für die Division.
Beispiel:
Aus $3\lt 5$ folgt $3\cdot(-2) \gt 5\cdot(-2)$ also $-6\gt -10$
Aus $a\lt b$ mit $a,b\gt 0$ oder $a,b \lt 0$ folgt $\frac 1a \gt \frac1b$.
Beispiel:
Aus $3\lt 5$ folgt $\frac 13\gt \frac 15$
Beweis
Sei $a,b\gt 0$
Da $a\lt b \Rightarrow$ $\frac{a}{ab} \lt \frac{b}{ab}$
$\Rightarrow \frac 1a \lt \frac1b$.
Für $a,b\lt 0$ läuft der Beweis ähnlich.
Man darf auf beide Seiten einer Ungleichung eine streng monoton wachsende Funktion anwenden.
Dadurch ändert sich das Ungleichzeichen nicht.
Beispiele für streng monoton wachsende Funktionen sind: $e^x$, $\ln(x)$ oder $\sqrt x$