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Primzahlen

Primzahl
Eine natürliche Zahl $p\gt 1$, die genau zwei Teiler hat, nennt man Primzahl.
Fundamentalsatz der Arithmetik
Jede natürliche Zahl $n\gt 1$ besitzt eine im wesentlichen eindeutige Primfaktorzerlegung.
Im wesentlichen bedeutet hier: Die Zerlegung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren.
Das heißt, dass man jede Zahl $n\gt 1$ darstellen kann als: $n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot p_3^{k_3}\dots$.
Wobei $p_i$ Primzahlen und $k_i$ natürliche Zahlen oder 0 sind.
Beispiele:
Faktorisierer
Ergebnis
Sätze
  1. Jede Primzahl ungleich 2 ist ungerade
    Beweis Indirekter Beweis:
    Sei $n\neq 2$ eine gerade Primzahl.
    Dann ist $n$ durch 2 teilbar, denn es gibt ein $k$ mit $n=2k$.
    Daher hat $n$ mindestens 3 Teiler: $1, 2, n$
    Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $n$ eine Primzahl ist.
    Daher gilt das Gegenteil der Annahme: alle Primzahlen ungleich 2 sind ungerade.
  2. Es gibt unendlich viel Primzahlen.
    Beweis exklusiv im Unterricht :)
  3. In der Primfaktorzerlegung einer Quadratzahl $q^2$ haben alle Primfaktoren eine gerade Potenz.
    Beweis Da für jede Zahl eine Primfaktorzerlegung existiert, existiert sie auch für $q$.
    Sei diese $q=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot p_3^{k_3}\dots$
    und somit für $q^2=(p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot p_3^{k_3}\dots)^2$.
    Damit ist $q^2= p_1^{2k_1}\cdot p_2^{2k_2}\cdot p_3^{2k_3}\dots$.
    Jetzt hat jede Potenz die Form $2k_i$ und ist somit gerade.
  4. Das Quadrat einer geraden Zahl $n$ ist eine gerade Zahl.
    Beweis Da $n$ gerade ist gilt: $n=2k$
    Wenn man nun $n$ quadriert erhält man $n^2=(2k)^2=2(2k^2)$. Dies ist auch eine gerade Zahl.
  5. Das Quadrat einer ungeraden Zahl $n$ ist eine ungerade Zahl.
    Beweis Da $n$ ungerade ist, enthält ihre Primfaktorzerlegung keine 2.
    Durch das Quadrieren werden nur die Potenzen bestehende Primfaktoren verdoppelt.
    Das heißt $n^2$ hat keine 2 in ihrer Primfaktorzerlegung, somit ist sie ungerade.
  6. Sei $p$ eine Primzahl, dann sind $p\mid b$ und $p\mid b^2$ äquivalent.
    Beweis Die Hinrichtung $p\mid b \Rightarrow p\mid b^2$ haben wir bei der Teilbarkeit bereits bewiesen.
    Rückrichtung: $p\mid b^2 \Rightarrow a\mid b$
    • $b^2$ hat eine Primfaktorzerlegung mit nur geraden Potenzen und einer diese Primfaktoren ist $p$, da $p$ ja $b^2$ teilt.
    • Dann hat aber auch $b$ einen Primfaktor $p$ und somit teilt $p$ auch $b$.
    • Wenn $p$ keine Primzahl ist gilt die Äquivalenz nicht, denn $4\mid 4$ aber $4 \not\mid 2$
    • Aber jeder Primfaktor von $p$ würde $b$ teilen! (Da jeder Primfaktor in $b^2$ mindestens doppelt vorkommt)
  7. In einem rechtwinkligen Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen können maximal 2 Seitenlängen Primzahlen sein.
    Beweis Indirekter Beweis
    Annahme es gibt ein rechtwinkligen Dreieck mit 3 Primzahl-Seitenlängen.
    In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras $c^2=a^2+b^2$
    Wandelt man diesen um erhält man $c^2-a^2 = b^2$
    Mit der 3. binomischen Formel erhält man: $(c-a)(c+a) = b^2$
    Somit hat $b^2$ mindestens die Teiler $1, c-a, c+a, b^2$ und damit hat auch $b$ mindestens 4 Teiler. Entweder $c-a$ selbst oder eben deren Primfaktoren.
  8. Die Wurzel von 2 ist irrational, also es gibt kein $w\in\mathbb{Q}$ so, dass $w^2=2$ ist.
    Beweis Indirekter Beweis
    Annahme: $\sqrt 2 $ ist nicht irrational, dann gibt es eine rationale Zahl $w=\frac zn$ mit $w^2=2$.
    Wir nehmen einen gekürzten Bruch für $w=\frac zn$ an. Wenn er nicht gekürzt wäre könnten wir ihn kürzen so, dass $z$ und $n$ keinen gemeinsamen Teiler mehr haben.
    • $w = \frac zn$
    • $w^2 = \frac{z^2}{n^2}$
    • $w^2\cdot n^2 = z^2$
    • Da $w^2=2$ setzen wir $2$ für $w^2$ ein.
    • $2\cdot n^2 = z^2$
    • Damit ist $z^2$ eine gerade Zahl. Und somit ist auch $z$ eine gerade Zahl.
    • Wenn $z$ gerade ist gilt $z=2k$ und $z^2=2^2k^2 = 4k^2$
    • Wir ersetzen $z^2$ durch $4k^2$
    • $2\cdot n^2 = 4k^2 \Rightarrow n^2 = 2k^2$
    • Damit ist auch $n^2$ und somit $n$ gerade
    • Wir können also eine 2 aus $\frac zn$ kürzen
    • Das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung
    • Somit gilt das Gegenteil: $\sqrt 2$ ist irrational.
  9. Die Wurzel von jeder Primzahl $p$ ist irrational.
    Beweis Indirekter Beweis
    Annahme: $\sqrt p $ ist nicht irrational, dann gibt es eine rationale Zahl $w=\frac zn$ mit $w^2=p$.
    Es gilt also $\sqrt p= \frac zn \Rightarrow p = \frac{z^2}{n^2}$
    Somit erhält man $p\cdot n^2 = z^2$
    Dies ist eine unlösbare Gleichung (falsche Aussage!), denn
    in der Primfaktorzerlegung von $z^2$ kommt jeder Primfaktor mit einer geraden Hochzahl vor.
    In $n^2$ kommt jeder Primfaktor mit einer geraden Hochzahl vor.
    In $p\cdot n^2$ kommt $p$ aber mit ungerader Hochzahl vor.
    Somit haben wir einen Widerspruch und $\sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 5, ...$ sind alle irrational.