Impressum
< Index

Betrags-Gleichung und Ungleichungen

Der (Absolut-)Betrag einer reellen Zahl ist definiert durch $$ |x|=\left\{ \begin{array}{ll} \phantom{-}x & \text{für } x\geq 0\\ -x & \text{für } x\lt 0\\ \end{array} \right. $$ Er gibt den Abstand einer reellen Zahl $r$ vom Nullpunkt an.
Der Betrag ist positiv für alle $x\in\mathbb R^*$.
Beispiele:

Betragsgleichung Ist in einer Gleichung die Lösungsvariable in Betragsstriche eingeschlossen, so spricht man von einer Betragsgleichung.
Man löst eine Betragsgleichung mittels Fallunterscheidung.
Beispiele
  • $|x-4|=4$
    1. Fall: $x-4\geq 0 \Rightarrow x\geq 4$: $x-4=\phantom{-}4$ $\Rightarrow x=8$
    2. Fall: $x-4\lt 0 \Rightarrow x\lt 4$: $x-4=-4$ $\Rightarrow x=0$
    $\mathbb L= \{0;\,8\}$
  • $|x|=2-x$
    1. Fall: $x\geq 0$: $x=2-x$ $\Rightarrow 2x=2$ $\Rightarrow x=1$
    2. Fall: $x\lt 0$: $x=-(2-x)$ $\Rightarrow x=-2+x$ $\Rightarrow 0=2$ (keine Lösung)
    $\mathbb L= \{1\}$
  • $x=|10-|2-17||$
    Hier ist die Lösungsvariable nicht im Betrag.
    $x=|10-|2-17||$
    $x=|10-|-15||$
    $x=|10-15|$
    $x=|-5|$
    $x=5$
Betragsungleichung Man nutzt folgende Äquivalenzen für Betragsungleichung $$|a|\leq b \Leftrightarrow -b\leq a \leq b$$ und $$|a|\geq b \Leftrightarrow a\leq -b\text{ oder } a \geq b$$