Aussageformen

Beispiele:

$A(x):\; 3x=6$
$A(5)$ ist falsch aber $A(2)$ ist wahr.
$A(x,y):\; x^2+y^1\lt 1$
$A(1, 1)$ ist falsch, aber $A(\frac12;0)$ ist wahr

Für die freien Variablen muss eine Grundmenge angegeben werden. Das heißt, die Grundmenge beinhaltet alle gültigen (erlaubten) Werte für die Variable.
Man kann bei Aussageformen alle Elemente aus der Grundmenge suchen, für die die Aussageform wahr ist. Die Menge dieser Elemente heißt Lösungsmenge.

Aufgabe zur Verknüpfungen von Aussagen

Entscheiden Sie, ob eine Aussage oder eine Aussageform vorliegt.
Wenn es eine Aussageform ist, für welche Variablen-Werte ist sie wahr?
Sofern nicht anders angegeben, sind die Variablen reelle Zahlen.
- $4\cdot a=1$
- $5+2\lt 6$
- $x$ ist ein Kind (wobei $x$ ein Mensch ist)
- Lehrer sind doof!
- $1\gt x^2$
- $4\cdot a=1$ Aussageform mit Lösungsmenge $\{\frac14\}$
- $5+2\lt 6$ Aussage
- $x$ ist ein Kind (wobei $x$ ein Mensch ist) Aussageform mit vielen Möglichkeiten für $x$
- Lehrer sind doof! Aussageform (hier ist Lehrer ein Platzhalter für eine konkrete Person eines wunderschönen Berufs)
- $1\gt x^2$ Aussageform mit $]-1;\;1[$ als Lösungsmenge
Für welche natürlichen Zahlen $n$ gilt, dass es eine natürliche Zahl $k$ gibt, so dass $n=2\cdot k$ gilt.
Begründen warum:
Für jedes $n\in\mathbb{N}$ gibt ein $k\in\mathbb{N}$, so dass gilt: $n \text{ gerade} \Leftrightarrow n=2k$
eine Aussageform ist.
Es gilt für alle geraden Zahlen $n$, denn eine gerade Zahl ist durch 2 teilbar.
Somit gilt für gerade $n$, dass $\frac n2 = k \Leftrightarrow n=2\cdot k$
Jede ungerade, ganze Zahl $n$ kann man als $(2k-1)$ und $(2m+1)$ darstellen.
Begründen.

Jeder ungeraden, ganzen Zahl geht eine gerade voraus und folgt eine gerade Zahl nach.
Somit ist $n-1$ und $n+1$ gerade, wenn $n$ ungerade ist.
Da $2k$ und $2m$ gerade sind (s.o.) ist also $2k-1$ und $2m+1$ ungerade.
Mit $n=2k-1\Rightarrow n+1=2k \Rightarrow \frac{n+1}2=k$ erhält man ein $k$.
Da $n+1$ gerade ist, ist $\frac{n+1}2$ eine ganze Zahl.