Mengenoperationen

Mengen verknüpfen

Vereinigung: Hierbei entsteht eine neue Menge, die alle Elemente beider Mengen beinhaltet.
Sind $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ zwei Mengen so ist $\mathbb{C} = \mathbb{A}\cup\mathbb{B}$ die Vereinigung von $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$.
Gilt $x\in\mathbb{A}$ so gilt auch $x\in\mathbb{C}$ und
gilt $x\in\mathbb{B}$ so gilt auch $x\in\mathbb{C}$.

Schnitt: Hierbei entsteht eine neue Menge, die nur Elemente enthält, die in beiden Mengen sind.
Sind $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ zwei Mengen so ist $\mathbb{S} = \mathbb{A}\cap\mathbb{B}$ die Schnittmenge von $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$.
Gilt $x\in\mathbb{S}$ so gilt auch $x\in\mathbb{A}$ und $x\in\mathbb{B}$.

Differenz: Hier entsteht eine Menge, die alle Elemente der ersten Menge beinhalten, die nicht in der zweiten sind.
$\mathbb{M}= \mathbb{A}\setminus \mathbb{B}$
Gilt $x\in \mathbb{M}$ so gilt $x\in \mathbb{A}$ und $x\not\in\mathbb{B}$

Komplement: Das Komplement einer Menge $\mathbb{M}$ beinhaltet alle Elemente, die nicht in $\mathbb{M}$ sind.
$\mathbb{C}= \mathbb{M}^c$
Gilt $x\in \mathbb{C}$ so gilt $x\not\in \mathbb{M}$
Gilt $x\not\in \mathbb{C}$ so gilt $x\in \mathbb{M}$

Teilmengen

$A$ ist eine Teilmenge von $B$, wenn für jedes Element von $A$ gilt, dass es Element von $B$ ist.
Mathematisch geschrieben: $A\subset B$
Hier folgt aus $x\in A$, dass auch $x\in B$ gilt.
Jede Menge ist ihre eigene Teilmenge: $M\subset M$ ist also eine wahre Aussage.

Manchmal wird das Symbol $\subset$ für echte Teilmengen verwendet, also Mengen die nicht gleich sind.
Das Symbol für Teilmengen (die auch gleich sein können ist dann $\subseteq$).
Wir verwenden das Symbol $\subset$ hier für echte und unechte Teilmengen.

Aufgaben

Geben Sie beschreibende Schreibweisen (also $\mathbb M =\{x\mid A(x)\}$, mit einer Aussageform $A(x)$) für folgende Operationen an:

$M=A\cup B$
$M=A\cap B$
$M=A\setminus B$

Gegeben sind $A = \{4, 3, 6, 7, 1, 9\}$, $B = \{5, 6, 8, 4\}$ und $C = \{5, 8, 4\}$.
Bestimme:

$A \cup B$
$A \cap B$
Lösung $\{4,6 \}$
$A \setminus B$
Lösung $\{3,7,1,9 \}$
$A \setminus C$
Lösung $\{3,6,7,1,9 \}$
$B \setminus A$
Lösung $\{5,8 \}$
$A \cap C$
Lösung $\{4\}$
$B \cap C$
Lösung $\{5,8,4 \}$
$B \cup C$
Lösung $\{5,6,8,4 \}$
$C \setminus B$
Lösung $\{ \} = \emptyset$

Prüfen Sie folgende Aussagen:

$3\in[-2; 2]$
$9\in\Z$
$\frac23\in \R$
$-2\in \Z_-^*$
$-\frac32\in\Q$
$0\in \Z^*$
$-2 \in \Z\cap\N$
$2 \in \R\setminus\N$
$3 \in \N\cup\Z$

Bestimme alle Elemente von:

$W=\{x \mid 2\cdot x \lt 5 \text{ und } x\in \N\}$
$H=\{x \mid x=2\cdot y+3 \text{ und } y\in \N \text{ und } y \lt 5\}$

Gegeben sind die drei Mengen: $A=\{1;3\}$, $B=\{2;3\}$ und $C=\{1;3;4\}$
Erzeugen Sie mittels Vereinigung, Schnitt und Ohne aus den Mengen $A$, $B$ und $C$ folgende Mengen:

$\{1;4\}$
alle ungeraden Zahlen zwischen 1 und 4
$[1;4] \cap \N$
$\{4\}$
$\{x\mid x\in \N \text{ und } x>0 \text{ und } x\leq 3\}$
$\{3;4\}$