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Ableitungen der Umkehrfunktion

Was ist die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ macht das Gegenteil von $f(x)$.
Das heißt: gilt $f(x)=y$ so gilt $f^{-1}(y)=x$.
Somit ergibt die Verkettung von $f$ und $f^{-1}$ immer die Identität $y=x$.
Es ist also $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$ und $f^{-1}\left(f(x)\right)=x$.
Umkehrfunktionen, die wir schon kennen:

Umkehrfunktionen bestimmen

Vertauscht man bei $y=f(x)$ die Variablen $x$ und $y$ und löst danach nach $y$ auf, so erhält man die Umkehrfunktion.
Beispiel: Die Umkehrfunktion von $f(x)=2x+4$ ist
In $y=2x+4$ die Variablen $x$ und $y$ vertauschen und umformen:
$\begin{array}{rcl} x&=&2y+4\\ x-4&=&2y\\ \frac{x-4}2&=&y\\ y&=&\frac12x-2 \end{array}$
Test mit ein paar Werten, ob die Umkehrfunktion korrekt ist.

Wann gibt es Umkehrfunktionen?

Wenn eine Funktion jedem $x\in\mathbb{D}$ genau ein $y\in\mathbb W$ existiert die Umkehrfunktion.
Damit jedem $x\in\mathbb{D}$ mindestens ein $y$ zugewiesen wird, können wir die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ einschränken indem wir jedes $x$ ohne $y$ aus $\mathbb{D}$ entfernen.
Damit jedem $x\in\mathbb{D}$ höchstens ein $y$ zugewiesen wird, müssen wir die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ so einschränken, dass kein Funktionswert öfters vorkommt.
Beispiel: $f(x)=x^2$
Hier wird jedem $x\in\mathbb R$ ein $y$ zugwiesen.
Allerdings kommt jeder Funktionswert aus $\mathbb R^*_+$ doppelt vor.
Denn es gilt $f(-2)=f(2)=4$ und allgemein $f(-x)=f(x)$.
Somit müssen wir den Definitionsbereich auf $\mathbb R_+$ oder auf $\mathbb R_-$ einschränken.
Die Wurzelfunktion ergibt sich aus $f:\mathbb R_+\rightarrow \mathbb R_+, y=x^2$, deshalb sind Quadratwurzeln immer $\geq 0$.

Ableitung der Umkehrfunktionen

Es gilt $f(f^{-1}(x))=x$. Hieraus leiten wir die Ableitungsregel für die Umkehrfunktion her.
$\begin{array}{rcll} f(f^{-1}(x)) &=&x&\quad|\ \text{beide Seiten ableiten}\\ \left(f(f^{-1}(x))\right)' &=&1&\quad|\ \text{Kettenregel}\\ f'(f^{-1}(x))\cdot {f^{-1}}'(x)&=&1&\quad|\ :f(f^{-1}(x))\\ {f^{-1}}'(x)&=&\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}& \\ \end{array}$
Beispiel: Ableitung der Umkehrfunktion von $f(x)=x^2$ mit $f'(x)=2x$ und $f^{-1}(x)=\sqrt x$.
${f^{-1}}'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
${f^{-1}}'(x)=\frac{1}{2\sqrt x }$
Übung: Weisen Sie dies nach indem Sie $\sqrt x = x^{1/2}$ verwenden.
Beispiel: Ableitung der Umkehrfunktion von $f(x)=e^x$ mit $f'(x)=e^x$ und $f^{-1}(x)=\ln(x)$.
${f^{-1}}'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
${f^{-1}}'(x)=\frac{1}{e^{\ln(x)}}$
${f^{-1}}'(x)=\frac{1}{x}$

Aufgaben

  1. Der Sinus ist periodisch. Welche Teilmenge um den Ursprung kann als Definitionsbereich hergenommen werden, so dass $\sin(x)$ umkehrbar ist?
  2. Leiten Sie $\arcsin(x)$ ab und vereinfachen Sie den Ableitungsterm.
  3. Leiten Sie $\arccos(x)$ ab und vereinfachen Sie den Ableitungsterm.
  4. Leiten Sie $\arctan(x)$ ab. Zur Errinnerung: $(\tan(x))'=\frac{1}{\cos^2(x)}$