Ableitungen

Aufgaben

1. Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=3x$ mit der Produktregel
   Lösung
   $(3x)' = (3)'\cdot x + 3(x)' = 0x+3\cdot 1 = 3$
2. Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=x^2$ mit der Produktregel
   Lösung
   $(x^2)' = (x\cdot x)' = (x)'\cdot x + x\cdot (x)' = 1\cdot x+x\cdot 1 = x+x=2x$
3. Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=(x+1)^3$ mittels Kettenregel und mittels ausmultiplizieren und dann ableiten.
   Lösung
   $\left((x+1)^3\right)' = 3(x+2)^2\cdot 1$
   $f(x)=(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1 \Rightarrow f'(x)=3x^2+6x+3 = 3(x+1)^2$
4. Zeige, dass die Ableitung von $h(x)=c\cdot f(x)$ die Funktion $h'(x)=c\cdot f'(x)$ ist.
   Verwenden sie hierfür den Grenzwert des Differenzen-Quotients.
   Lösung
   $\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{h(x+h)-h(x)}{h}=$
   $\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{c\cdot f(x+h)-c\cdot f(x)}{h}=$
   $\lim\limits_{h\rightarrow 0} c\cdot\frac{ f(x+h)-f(x)}{h}=$
   $c\cdot \underbrace{\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} }_{=f'(x)}=$
   $=c\cdot f'(x)$
5. Zeige, dass die Ableitung von $h(x)=f(x)+g(x)$ die Funktion $h'(x)=f'(x)+g'(x)$ ist.
   Verwenden sie hierfür den Grenzwert des Differenzen-Quotients.
   Lösung
   $\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{h(x+h)-h(x)}{h}=$
   $\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}=$
   $\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}=$
   $\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}=$
   $\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}h+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=$
   $\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}h+\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=$
   $f'(x)+g'(x)$
6. Zeige, dass die Ableitung von $k(x)=f(x)+g(x)+h(x)$ die Funktion $k'(x)=f'(x)+g'(x)+h'(x)$ ist.
   Hierfür brauchen Sie nur die Regel $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$ und ein Paar Klammern.
   Lösung
   $k'(x)=\left(f(x)+g(x)+h(x)\right)'$
   $=\left(f(x)+\left(g(x)+h(x)\right)\right)'$
   $=f'(x)+\left(g(x)+h(x)\right)'$
   $=f'(x)+g'(x)+h'(x)$
7. Vollziehen Sie die Herleitung für die Ableitungsregel von $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ nach.
   Herleitung
   $\lim\limits_{x_1\rightarrow x_2} \frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1}=$
   $\lim\limits_{x_1\rightarrow x_2} \frac{f(x_2)\cdot g(x_2)-f(x_1)\cdot g(x_1)}{x_2-x_1}=$
   $\lim\limits_{x_1\rightarrow x_2} \frac{ f(x_2)\cdot g(x_2)\overbrace{-f(x_1)g(x_2)+f(x_1)g(x_2)}^{0}-f(x_1)\cdot g(x_1) }{x_2-x_1}=$
   $\lim\limits_{x_1\rightarrow x_2} \frac{ g(x_2)\left(f(x_2)-f(x_1)\right)+f(x_1)\left(g(x_2)-g(x_1)\right) }{x_2-x_1}=$
   $\lim\limits_{x_1\rightarrow x_2} \left( \frac{ g(x_2)\left(f(x_2)-f(x_1)\right)}{x_2-x_1} +\frac{f(x_1)\left(g(x_2)-g(x_1)\right) }{x_2-x_1}\right)=$
   $\lim\limits_{x_1\rightarrow x_2} \frac{ g(x_2)\left(f(x_2)-f(x_1)\right)}{x_2-x_1} + \lim\limits_{x_1\rightarrow x_2} \frac{f(x_1)\left(g(x_2)-g(x_1)\right) }{x_2-x_1}=$
   $g(x_2)\lim\limits_{x_1\rightarrow x_2} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}+ f(x_2)\lim\limits_{x_1\rightarrow x_2}\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}=$
   $g(x)f'(x)+f(x)g'(x)=$
   $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
8. Finden Sie eine Ableitungsregel für $k(x)=f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)$.
   Hierfür brauchen Sie nur die Ableitungsregel für Produkte und ein Paar Klammern.
   Lösung
   $k'(x)=\left(f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\right)'$
   $=\left(f(x)\cdot \left(g(x)\cdot h(x)\right)\right)'$
   $=f'(x)\cdot\left(g(x)\cdot h(x)\right)+f(x)\cdot\left(g(x)\cdot h(x)\right)'$
   $=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot\left(g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\right)$
   $=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g(x)\cdot h'(x)$
   $=f'gh+fg'h+fgh'$
9. Zeige, dass die Ableitung von $h(x)=\frac1{f(x)}$ die Funktion $h'(x)=-\frac{f'(x)}{f(x)^2}$
   Lösung
   Wir wandeln $h(x)=\frac1{f(x)}$ in mittels Potenzgesetzen in $h(x) =(f(x))^{-1}$ um.
   Dies ist eine Verkettung von $u(x)=x^{-1}$ und $f(x)$, denn $h(x)=u(f(x))$
   Mit der Regel für Verkettung und der Regel für Potenzfunktionen ergibt sich:

   $h'(x)=\left((f(x))^{-1}\right)'=-(f(x))^{-2}\cdot f'(x)$
   oder $h'(x)=-\frac{f'(x)}{f(x)^2}$
10. Finden Sie eine Ableitungsregel für $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$.
    Lösung
    $h'(x)=\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'$
    $\phantom{h'(x)}\,=\left(f(x)\left(g(x)\right)^{-1}\right)'$
    $\phantom{h'(x)}\,=f'(x)\left(g(x)\right)^{-1}+f(x)\left(\left(g(x)\right)^{-1}\right)'$
    $\phantom{h'(x)}\,=f'(x)\left(g(x)\right)^{-1}+f(x)\cdot \left(-\frac{g'(x)}{g^2(x)}\right)$
    

    $\phantom{h'(x)}\,=\frac{f'(x)}{g(x)}-f(x)\cdot \frac{g'(x)}{g^2(x)}$

    $\phantom{h'(x)}\,=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x) g'(x)}{g(x)^2}$

    $\phantom{h'(x)}\,=\frac{f'(x)g(x)}{g(x)^2}-\frac{f(x) g'(x)}{g(x)^2}$

    $\phantom{h'(x)}\,=\frac{f'(x)g(x)-f(x) g'(x)}{g(x)^2}$
11. Leiten Sie $h(x)=\frac{x+1}{x^2-3x}$ ab.
    Lösung
    Mit $f(x)=x+1$ und $g(x)=x^2-3x$ erhält man:
    $h'(x)=\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'$
    

    $\phantom{h'(x)}\,=\frac{f'(x)g(x)-f(x) g'(x)}{g(x)^2}$

    $\phantom{h'(x)}\,=\frac{1\cdot(x^2-3x)-(x+1) (2x-3)}{(x^2-3x)^2}$

    $\phantom{h'(x)}\,=\frac{x^2-3x-(2x^2-3x+2x-3)}{(x^2-3x)^2}$

    $\phantom{h'(x)}\,=\frac{x^2-3x-2x^2+3x-2x+3}{(x^2-3x)^2}$

    $\phantom{h'(x)}\,=\frac{-x^2-2x+3}{(x^2-3x)^2}$
12. Leiten Sie $f(x)=\tan(x)$ ab.
    Bedenken Sie, das $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ ist.
    Und es gilt $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$
    Lösung
    $\left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)' =\frac{\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\cdot (-sin(x))}{\cos^2(x)}$
    $\phantom{\left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)' }=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
    $\phantom{\left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)' }=\frac{1}{\cos^2(x)}$