Aufstellen von Sinus-/Kosinusfunktionen

Um eine Sinus-Funktion $f(x)=a\cdot\sin(b(x-c))+d$ aufzustellen, muss man Werte für $a, b, c$ und $d$ finden.
Diese können in Textform oder in Form eines Schaubilds gegeben werden.
Da eine Kosinus-Funktion einer Sinus-Funktion entspricht, die um $\frac\pi2$ nach links verschoben ist, kann man leicht aus einer aufgestellten Sinus-Funktion eine Kosinus-Funktion machen und andersherum.

$a$ ist die Amplitude.
Man kann sie bestimmen, indem man die Hälfte des Abstands vom höchsten $y$-Wert ($y_{Max}$) und dem niedrigsten $y$-Wert ($y_{Min}$) bestimmt: $a=\frac{y_{Max}-y_{Min}}{2}$
$d$ ist die Verschiebung in $y$-Richtung
Man kann sie mit $d=\frac{y_{Max}+y_{Min}}{2}$ berechnen, da $y=d$ genau in der Mitte von $y_{Max}$ und $y_{Min}$ liegt.
$b$ bestimmt man über die Periodenlänge $P$.
Denn $b=\frac{2\pi}P$. Die Periodenlänge kann man z.B. zwischen zwei benachbarten Hoch- oder Tiefpunkten ablesen.
$c$ ist die Verschiebung in $x$-Richtung.
Man kann beim $\cos$ den Abstand von der $y$-Achse zum ersten Hochpunkt nehmen und beim $\sin$ den Abstand von der $y$-Achse zum Schnittpunkt mit der Mittellinie $y=d$.

Schaubild einer Sinusfunktion zu der die Funktionsgleichung gesucht wird. — Gesucht ist die Sinus-Funktion, die zu diesem Schaubild passt.

Schaubild einer Sinusfunktion zu der die Funktionsgleichung gesucht wird mit Hilfslinien. — Die Sinus-Funktion mit Hilfslinien.

Zeichnet man die Hilfslinien in das Schaubild ein, so sieht man:

Maximales $y=7$
Minimales $y=3$
Periodenlänge = 2
Erster Schnitt von Mittellinie und Graph bei $x=0$

Amplitude:

Die Funktion geht von $y=3$ bis $y=7$. Damit ist die Amplitude $a= \frac{7-3}2 = \frac42 = 2$.

y-Verschiebung (d):

$d= \frac{7+3}2 = \frac{10}2 = 5$

Periodenlänge und b:

Eine Schwingung geht von $x=0$ bis $x=2$.
Die Periodenlänge ist also 2. Damit ist $b= \frac{2\pi}{2} = \pi$.

x-Verschiebung

Da eine Sinusfunktion gesucht ist und der erste Schnitt von Mittellinie und Graph bei $x=0$ liegt, ist $c=0$.

Gesuchte Funktion
Setzt man all dies in die allgemeine Sinus-Funktion $f(x)=a\cdot\sin(b(x-c))+d$ ein erhält man:
$f(x)=2\cdot\sin(\pi(x-0))+5$ oder
$f(x)=2\cdot\sin(\pi\,x)+5$

Zeichnet man die Hilfslinien in das Schaubild ein, so sieht man:

Maximales $y=3$
Minimales $y=1$
Periodenlänge = 2
Erster Schnitt von Mittellinie und Graph bei $x=\frac\pi2$

Amplitude:

Die Funktion geht von $y=1$ bis $y=3$. Damit ist die Amplitude $a= \frac{3-1}2 = \frac22 = 1$.

y-Verschiebung (d):

$d= \frac{3+1}2 = \frac{4}2 = 2$

Periodenlänge und b:

Eine ganze Schwingung ist nicht abgebildet. Aber eine Halbschwingung geht von $x=\frac\pi2$ bis $x=\frac{3\pi}{2}$.
Die Periodenlänge ist also $2\cdot \left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right) =2\pi$.
Damit ist $b= \frac{2\pi}{2\pi} = 1$.

x-Verschiebung

Da eine Sinusfunktion gesucht ist und der erste Schnitt von Mittellinie und Graph bei $x=\frac{\pi}{2}$ liegt, ist $c=\frac{\pi}{2}$.

Gesuchte Funktion
Setzt man all dies in die allgemeine Sinus-Funktion $f(x)=a\cdot\sin(b(x-c))+d$ ein erhält man:
$f(x)=1\cdot\sin(1(x-\frac\pi2))+2$ oder
$f(x)=\sin(x-\frac\pi2)+2$