Fläche zwischen Kurven

Die Fläche zwischen zwei Funktionen ist gleich groß wie die Fläche der oberen Funktion minus die der unteren Funktion.
Die Fläche zwischen $f(x)$ und $g(x)$ ist das gleiche wie $\int\limits_a^b f(x)\ dx - \int\limits_a^b g(x)\ dx$.

Gesucht ist die Fläche zwischen $f(x)=\frac 1 2 x^2 + \frac 1 2$ und $g(x)=\frac 1 4 x^2 +\frac 1 4$.
Für $x$ gilt $0\leq x \leq 2$
Skizze:

Das Integral zwischen f und g und die Integrale unter f und g.
Man sieht das die Fläche zwischen f und g genau die Fläche unter f minus die Fläche unter g ist — $\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;dx = \int\limits_a^b f(x)\; dx - \int\limits_a^b g(x)\; dx$

Lösung:

Statt beide Integrale zu berechnen, lohnt es sich die Differenz in einem Integral zusammenzufassen.
Hierdurch wird der zu integrierende Term deutlich kleiner. $$\int\limits_0^2 f(x)\;dx - \int\limits_0^2 g(x)\;dx = \int\limits_0^2 f(x)-g(x)\;dx $$ Also:

$\int\limits_0^2 f(x)-g(x)\;dx $
$=\int\limits_0^2 \frac 1 2 x^2 + \frac 1 2 -\left( \frac 1 4 x^2 +\frac 1 4 \right) \;dx$
$=\int\limits_0^2 \frac 1 4 x^2 + \frac 1 4 \;dx $
$=\Big[ \frac1{12} x^3 + \frac14x +c \Big]_0^2 $
$=\frac1{12} 2^3 + \frac14 2 +c - (\frac1{12} 0^3 + \frac140+c)$
$=\frac76FE \approx 1{,}167 FE$

Fläche und Integral

Das Integral $\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;dx$ zwischen den zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ ist positiv wenn das Schaubild von $f(x)$ oberhalb von dem von $g(x)$ verläuft.
Es ist negativ wenn das Schaubild von $f(x)$ unterhalb von dem von $g(x)$ verläuft.
Wenn sich die beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ im Intervall $[a;\;b]$ schneiden, dann hat $f(x)-g(x)$ eine Nullstelle.
Hier würde der Teil des Integrals vor der Nullstelle und der danach ein unterschiedliches Vorzeichen haben. Will man also die Fläche, so muss zuerst die Schnittstellen von $f(x)$ und $g(x)$ bestimmen und von Schnittstelle zu Schnittstelle integrieren.

Dies ist genau das gleiche wie beim bestimmten Integral einer Funktion und ihrer Nullstellen.
Denn man kann jedes Integral $\int\limits_a^b f(x)\;dx$ als Integral zwischen $f(x)$ und $g(x)=0$ ansehen: $\int\limits_a^b f(x)\;dx = \int\limits_a^b f(x)-g(x)\;dx= \int\limits_a^b f(x)-0\;dx$
Die Nullstellen von $f(x)$ im bestimmten Integral haben somit die gleiche Bedeutung, wie die Schnittstellen beim bestimmten Integral zwischen zwei Funktionen.