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Stammfunktion

Die Stammfunktion $F(x)$ wird auch unbestimmtes Integral genannt. Man erhält $F(x)$ durch integrieren der Funktion $f(x)$. Integrieren ist die Umkehrung der Ableitung und wird umgangssprachlich auch aufleiten genannt.
Man scheibt:
$$F(x)=\int f(x)\, dx$$
Das Symbol $\int$ liest man Integral. Das $dx$ gibt an, dass $x$ die Variable der Funktion ist. Es kommt von der Ableitungsschreibweise $f'(x)=\frac{df}{dx}$.

Integrale von Grundfunktionen

f(x)F(x)
$c $$ c\,x $
$x^n $$ (n+1)x^{n+1}$
$e^x $$ e^x $
$\sin(x)$$ -\cos(x) $
$\cos(x)$$ \phantom{-} \sin(x) $

Integrationsregeln

Integrationskonstante

Wenn man eine Funktion der Form $f(x)=c$ ableitet, so erhält man $f'(x)=0$.
Bei der Aufleitung von $f'(x)$ kann man diese Konstante nicht mehr herstellen.
Daher ist die Stammfunktion nicht eindeutig, den
$f(x)=2x+1$ hat die Ableitung $f'(x)=2$ und
$g(x)=2x+5$ hat die Ableitung $g'(x)=2$
Daher ist die Stammfunktion $F(x)=\int 2\;dx = 2x+c$.
Die $2x$ sind die Aufleitung der 2. Das $+c$ ist die Integrationskonstante, also die Konstante, die bei der Ableitung wegfällt.
Dieses $c$ kann nur eindeutig bestimmt werden, wenn man noch einen Punkt auf der Stammfunktion festlegt.
Beispiel
gegeben: $f(x)=3$
gesucht: Die Stammfunktion von $f(x)$ die durch $P(1\mid 2)$ geht.
Lösung:
$F(x)=\int f(x)\; dx = \int 3\;dx = 3x+c$
$P$ einsetzen: $F(1)=2$
$3\cdot 1+c = 2$ ergibt $c=-1$
Die gesuchte Stammfunktion ist: $F(x)=3x-1$

Eigenschaften der Stammfunktion

Da die Stammfunktion $F(x)$ die Aufleitung der Funktion $f(x)$ ist, ist $f(x)$ die Ableitung von $F(x)$. Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften: