Integral und Fläche

Das bestimmte Integral $\int\limits_a^b f(x)\;dx$ gibt Flächen unter der $x$-Achse negativ und über ihr positiv an.
Somit ist $\int\limits_{-1}^1 x^3\;dx = 0$, den $x^3$ ist symmetrisch zum Ursprung und die Fläche von -1 bis 0 ist unter der $x$-Achse und die von 0 bis 1 über der $x$-Achse. Durch die Symmetrie ist klar, dass beide Flächen gleich groß sind.

Will man jedoch den kompletten Flächeninhalt haben, so muss man alle negativen Teile des Schaubilds nach oben „klappen”.
Dies erreicht man durch den Betrag von $f(x)$, das Integral $\int\limits_a^b |f(x)|\;dx$ gibt die gesamte Fläche zwischen $f$ und der $x$-Achse an.

Da man $\int\limits_a^b |f(x)|\; dx$ nicht (so leicht) berechnen kann, muss man hier das Integral in Teile aufteilen.

Zuerst berechnet man die Nullstellen $x_1, x_2, \ldots, x_n $ von $f(x)$, die zwischen $a$ und $b$ liegen
Für jedes Intervall $[a;\;x_1]$, $[x_1;\;x_2]$,... ,$[x_n;\;b]$ prüft man ob $f(x)\lt 0$ oder $f(x)\gt 0$ ist.
Für jedes Intervall bestimmt man jetzt das Vorzeichen von $f(x)$ in diesem Intervall.
Ist $f(x)\gt0$ so ist die Fläche $+\int f(x)\;dx$ sonst ist sie $-\int f(x)\;dx$.
Nehmen wir an, das $f(x)$ im ersten Intervall positiv ist, im zweiten negativ, im dritten positiv, ..., im letzten positiv, so ergibt sich:
$\int\limits_a^b |f(x)|\; dx = \int\limits_a^{x_1} f(x)\; dx -\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)\; dx +\int\limits_{x_2}^{x_3} f(x)\; dx \dots+ |f(x)|\; dx $

Wann Integral und wann Fläche

Hier ein paar Beispiele:

Gibt eine Funktion Umsätze an und positive Werte sind Einnahmen und negative Ausgaben, so ist das Integral der Gesamtgewinn und die Fläche der Gesamtumsatz.
Will man eine Fläche streichen, so ist der Flächen nötig. Beim bestimmten Integral würden Flächen unter der $x$-Achse ja abgezogen und so die Farbmenge nicht richtig bestimmt werden.
Ist $f(x)$ die Geschwindigkeit eines Objekts, wobei positive Werte für eine Geschwindigkeit nach vorn und negative für eine Geschwindigkeit nach hinten darstellt.
Die Strecke welche das am Ende zurückgelegt hat, also die Entfernung des Objekts von seinem Startpunkt, ist das bestimmte Integral.
Will man die gesamte Strecke wissen die das Objekt zurückgelegt hat, so ist es die Fläche.