Abstand Punkt Gerade

Gegeben: $P=(1\mid 3\mid 0)$ und $g:\vec x = \begin{pmatrix} 2\\-1\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 3\\3\\2\end{pmatrix}$
Gesucht: Der minimale Abstand zwischen $P$ und $g$

Der Vektor $\overrightarrow{Pg}$ ist somit: $\overrightarrow{Pg} = g-P = \begin{pmatrix} 2\\-1\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 3\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\ 3\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2+3t- 1\\ -1+3t-3\\7+2t-0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+3t\\ -4+3t\\7+2t\end{pmatrix}$
Der Winkel muss 90° sein, also muss $\overrightarrow{Pg}\cdot \vec v=0$ sein:
$\begin{pmatrix}1+3t\\ -4+3t\\7+2t\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\3\\2\end{pmatrix} = 0$
$(1+3t)\cdot 3+ (-4+3t)\cdot 3 + (7+2t)\cdot 2 =0$
$(3+9t) + (-12+9t) + (14+4t) = 0$
$5 + 22t = 0$
$22t = -5$
$t=-\frac{5}{22}$

Setzt man $t=-\frac{5}{22}$ in $\overrightarrow{Pg}$ ein erhält man:
$\begin{pmatrix}1+3\left(-\frac{5}{22}\right)\\ -4+3\left(-\frac{5}{22}\right)\\7+2\left(-\frac{5}{22}\right)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{7}{22}\\ -\frac{103}{22}\\\frac{72}{11}\end{pmatrix}$
Die Länge von $\overrightarrow{Pg}$ ist der minimale Abstand:
$\left|\begin{pmatrix}\frac{7}{22}\\ -\frac{103}{22}\\\frac{72}{11}\end{pmatrix}\right| = \sqrt{ \left(\frac{7}{22}\right)^2+ \left(-\frac{103}{22}\right)^2+ \left(\frac{72}{11}\right)^2 } = \sqrt{\frac{1427}{22}} = \sqrt{64{,}8\overline{63}} \approx 8{,}054 LE$