Geradengleichungen aufstellen

Wenn man einen Punkt $P$ und einen Richtungsvektor $\vec v$ gegeben hat, hat man schon alle Angaben die man braucht.
Die Gerade ist dann $g:\vec x = P+k\cdot \vec v$.
Man kann formal korrekt statt $P$ den Ortsvektor $\vec p=\overrightarrow{OP}$ verwenden: $g:\vec x = \vec p+k\cdot \vec v$

Somit sind folgende Geraden alle gleich:

$g:\vec x = \vec p+k\cdot \vec v$
$g:\vec x = \vec p+r\cdot \vec v$
$g:\vec x = \vec p+s\cdot \vec v$
$g:\vec x = \vec p+\lambda\cdot \vec v$

Beispiel:

Eine Gerade geht durch den Punkt $\begin{pmatrix} 2&1&3\end{pmatrix}$ und hat den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
Dann ist die Gerade: $g:\vec x = \begin{pmatrix} 2\\1\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix}$

Gerade durch zwei gegebene Punkte

Wenn man zwei Punkte $P$ und $Q$ gegeben hat, muss der Richtungsvektor $\vec v$ berechnet werden. Da die Gerade durch $P$ und $Q$ läuft ist die einfachste Art diesen zu bestimmen: $\vec v = \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}$ oder $\vec v = \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$.
Als Aufpunkt kann $P$ oder $Q$ genommen werden.
Die Gerade ist dann:

oder $g:\vec x = \overrightarrow{OP} +k\cdot \overrightarrow{PQ}$
oder $g:\vec x = \overrightarrow{OQ} +k\cdot \overrightarrow{PQ}$
oder $g:\vec x = \overrightarrow{OP} +k\cdot \overrightarrow{QP}$
oder $g:\vec x = \overrightarrow{OQ} +k\cdot \overrightarrow{QP}$

Ja, das ist immer dieselbe Gerade.

Beispiel:

Eine Gerade geht durch die Punkt $P=\begin{pmatrix} 2&-1&3\end{pmatrix}$ und $Q=\begin{pmatrix} 1&1&3\end{pmatrix}$.

Richtungsvektor $\vec v = \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix} $.

Die Gerade ist somit: $g:\vec x = P+k\cdot \vec v= \begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix}$

Geradengleichungen aufstellen

Gerade mit Punkt und Richtungsvektor aufstellen

Gerade durch zwei gegebene Punkte