Gegeben: $g:\vec x = \begin{pmatrix} 2\\-1\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1\\3\\5\end{pmatrix}$
Gesucht: Winkel zwischen $g$ und der $x_1x_3$-Ebene ($x_2=0$).
Lösung:
Der Richtungsvektor wird auf die $x_1x_3$-Ebene projiziert, indem man $x_2$ auf 0 setzt:
$\vec v_p = \begin{pmatrix} 1\\0\\5 \end{pmatrix}$
Jetzt bestimmt man den Winkel zwischen $\begin{pmatrix} 1\\3\\5\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 1\\0\\5 \end{pmatrix}$.
$\begin{array}{rcl}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{
\vec u\cdot \vec v
}{
|\vec u|\cdot |\vec v|
}\\
&=& \frac{
\begin{pmatrix} 1\\3\\5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\5 \end{pmatrix}
}{
\left|\begin{pmatrix} 1\\3\\5\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix} 1\\0\\5 \end{pmatrix}\right|
}\\
&=& \dfrac{
1\cdot 1 + 3\cdot 0 + 5\cdot 5
}{
\sqrt{1^2+3^2+5^3}\cdot \sqrt{1^2+0^2+5^2}
}\\
&=& \dfrac{26}{\sqrt{35}\cdot\sqrt{26}}\\
&\approx& 0{,}86189
\end{array}$
Der Winkel beträgt somit: $\cos^{-1}(0{,}86189) = 30{,}47^\circ$