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Punktprobe

Ist ein Punkt und eine Gerade gegeben, so setzt man den Punkt ein und überprüft ob es ein eindeutiges $k$ gibt.
Beispiel 1 : Liegt $P=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}$ auf $g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$?
Lösung:
  1. Zuerst wandel wir den Punkt $P$ in einen Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ um.
    Nun setzen wir $\overrightarrow{OP}$ für $\vec x$ einsetzen:
    $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$
  2. In jeder der 3 Gleichungen $k$ bestimmen:
    $\begin{array}{rcll}1&=& 1+k\cdot 2 &\Rightarrow k = 0\\ 1&=& 2+k\cdot (-2) &\Rightarrow k = \frac12\\ 1&=& 3+k\cdot 1 &\Rightarrow k = -2 \end{array}$
    Da die $k$-Werte nicht alle gleich sind liegt $P$ nicht auf $g$.
Beispiel 2 : Liegt $Q=\begin{pmatrix}7&-4&6\end{pmatrix}$ auf $g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$?
Lösung:
  1. $\overrightarrow{OQ}$ für $\vec x$ einsetzen: $\begin{pmatrix}7\\-4\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$
  2. In jeder der 3 Gleichungen $k$ bestimmen:
    $\begin{array}{rcll} 7&=& 1+k\cdot 2 &\Rightarrow k = 3\\ -4&=& 2+k\cdot (-2) &\Rightarrow k = 3\\ 6&=& 3+k\cdot 1 &\Rightarrow k = 3 \end{array}$
    Da alle $k$-Werte 3 sind, liegt $Q$ auf $g$.