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\newcommand{vek}[3]{\begin{pmatrix} #1\\#2\\#3\end{pmatrix}}
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Lage von Geraden zueinander
Zwei Geraden
g und
h können
- identisch sein
- sich in einem Punkt schneiden
- parallel zueinander sein
- windschief zueinander sein.
Das bedeutet, sie schneiden sich nicht aber die Richtungsvektor zeigen in unterschiedliche Richtungen.
Vorgehen
Um festzustellen, wie die Geraden
g und
h zueinander liegen kann man wie folgt vorgehen:
- Zuerst prüft man, ob die Richtungsvektoren linear voneinander abhängen.
-
Ist dies der Fall, so können sie nur parallel oder identisch sein.
Liegt ein beliebiger Punkt von g in h sind sie identisch, sonst parallel.
- Ist dies nicht der Fall, so können sie sich schneiden oder sind windschief.
Hierfür muss das Gleichungssystem g=h gelöst werden. Hat es eine Lösung, so schneiden sie sich.
Ist es unlösbar, so sind sie windschief.
Eine anderer Weg ist, zuerst das Gleichungssystem
g=h zu lösen.
Hat das Gleichungssystem
- genau eine Lösung, so schneiden sie sich
- unendlich viele Lösungen, so sind sie identisch
- keine Lösung, so sind sie windschief oder parallel.
Dies prüft man anhand der Richtungsvektoren. Sind sie linear abhängig, so sind sie parallel andernfalls windschief.
Das Gleichungssystem g=h
Wenn man zwei Geraden
g:\vec x=\vek{a_1}{a_2}{a_3}+k\vek{r_1}{r_2}{r_3}
h:\vec x=\vek{b_1}{b_2}{b_3}+s\vek{v_1}{v_2}{v_3}
gleichsetzt erhält man:
\begin{array}{rcl}
a_1+r_1k&=& b_1+v_1s\\
a_2+r_2k&=& b_2+v_2s\\
a_3+r_3k&=& b_3+v_3s
\end{array}
bringt man die Unbekannten k und s nach links:
\begin{array}{rcl}
r_1k-v_1s&=& b_1-a_1\\
r_2k-v_2s&=& b_2-a_2\\
r_3k-v_3s&=& b_3-a_3
\end{array}
Jetzt hat man ein LGS mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen.
Wendet man das Gauss-Verfahren an so erhält man die Stufenform:
\begin{array}{rcl}
r_1k-v_1s&=& b_1-a_1\\
v_2s&=& b_2-a_2\\
0&=& b_3-a_3
\end{array}
In Matrixschreibweise
Wenn man das LGS als Matrix schreibt erhält man eine
3\!\times\! 3-Matrix.
Formt man die Matrix in die Dreiecksform um so erhält man:
-
\begin{pmatrix}
1 & a & k \\
0 & 1 & s \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} wenn es einen Schnittpunkt gibt
-
\begin{pmatrix}
1 & a & k \\
0 & 1 & s \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} wenn es keinen Schnittpunkt gibt (windschief)
-
\begin{pmatrix}
1 & a & k \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} wenn es keinen Schnittpunkt gibt (parallel)
-
\begin{pmatrix}
1 & a & k \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} wenn die Geraden identisch sind
Beispiele
Beispiel 1:
Setzt man die Geraden
g:\vec x=\vek{1}{2}{3}+k\vek201
h:\vec x=\vek{0}{1}{3}+s\vek120
gleich, so erhält man die Gleichung:
\vek{1}{2}{3}+k\vek201 = \vek{0}{1}{3}+s\vek120
Und somit das Gleichungssystem
\begin{array}{rcl}
1+2k&=& 0+1s\\
2+0k&=& 1+2s\\
3+1k&=& 3+0s
\end{array}
Die zweite Gleichung liefert: s=\frac12
Die dritte Gleichung liefert: k=0
Setzt man dies in die erste Gleichung ein erhält man:
1+2\cdot 0 = 0+1\cdot\frac12
also 1=\frac12 somit ist das LGS unlösbar.
Da die Richtungsvektor nicht in die gleiche Richtung zeigen (nicht linear abhängig sind)
und es keinen Schnittpunkt gibt (LGS unlösbar) sind g und h windschief zueinander.
In Matrixschreibweise
Gleichungssystem so umformen, dass Variablen links und Konstanten rechts stehen:
\begin{array}{rcl}
1+2k&=& 0+1s\\
2+0k&=& 1+2s\\
3+1k&=& 3+0s
\end{array}
\begin{array}{rcl}
2k-1s&=& 0\\
0k-2s&=& -1\\
1k+0s&=& 0
\end{array}
Als Matrix schreiben und umformen:
\begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
0 & -2 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\sim \begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 1 \\
\end{pmatrix}
\sim \begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -\frac12 \\
\end{pmatrix}
\sim \begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -\frac12 \\
\end{pmatrix}
\sim \begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -\frac52 \\
\end{pmatrix}
Beispiel 2:
Setzt man die Geraden
g:\vec x=\vek{1}{0}{1}+k\vek111
h:\vec x=\vek{0}{-4}{3}+s\vek120
gleich, so erhält man die Gleichung:
\vek{1}{0}{1}+k\vek111 = \vek{0}{-4}{3}+s\vek120
Und somit das Gleichungssystem
\begin{array}{rcl}
1+1k&=& 0+1s\\
0+1k&=& -4+2s\\
1+1k&=& 3+0s
\end{array}
Die dritten Gleichung liefert: k=2
Setzt man dies in die erste Gleichung ein erhält man:
1+1\cdot 2 = 0+1\cdot s
also ist s=3.
Mit k=2 und s=3 liefert die zweite Gleichung 2=-4+2\cdot 3, also 2=2.
Dies ist eine wahre Aussage.
Somit ist der Schnittpunkt bei k=2 bzw. s=3:
(3\mid 2\mid 3).
In Matrixschreibweise
Gleichungssystem so umformen, dass Variablen links und Konstanten rechts stehen:
\begin{array}{rcl}
1+1k&=& 0+1s\\
0+1k&=& -4+2s\\
1+1k&=& 3+0s
\end{array}
\begin{array}{rcl}
1k-1s&=& -1\\
1k-2s&=& -4\\
1k-0s&=& 2
\end{array}
Als Matrix schreiben und umformen:
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
1 & -2 & -4 \\
1 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & -3 \\
0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
Somit ist hier s=3 und da die letzte Zeilen nur 0en enthalten ist es eindeutig lösbar
(es gibt genau einen Schnittpunkt).
Beispiel 3:
Setzt man die Geraden
g:\vec x=\vek{2}{1}{1}+k\vek122
h:\vec x=\vek{0}{-3}{-3}+s\vek{-2}{-4}{-4}
gleich, so erhält man die Gleichung:
\vek{2}{1}{1}+k\vek122 = \vek{0}{-3}{-3}+s\vek{-2}{-4}{-4}
Und somit das Gleichungssystem
\begin{array}{rcl}
2+1k&=& 0-2s\\
1+2k&=& -3-4s\\
1+2k&=& -3-4s
\end{array}
Subtrahieren wir von der zweiten Gleichung 2 mal die erste Gleichung, erhalten wir:
-3+0k = -3+0s, also -3=-3 (eine wahre Aussage).
Rechnen wir die dritte Gleichung minus die zweite, erhalten wir:
0=0 (eine wahre Aussage).
Dies liegt daran, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind:
(-2)\cdot\vek122=\vek{-2}{-4}{-4}.
Der Aufpunkt von h liegt auf g (mit k=-2).
Somit sind die Geraden identisch.
In Matrixschreibweise
Gleichungssystem so umformen, dass Variablen links und Konstanten rechts stehen:
\begin{array}{rcl}
2+1k&=& 0-2s\\
1+2k&=& -3-4s\\
1+2k&=& -3-4s
\end{array}
\begin{array}{rcl}
1k+2s&=& -2\\
2k+4s&=& -4\\
2k+4s&=& -4
\end{array}
Als Matrix schreiben und umformen:
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
2 & 4 & -4 \\
2 & 4 & -4 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
Da die letzte beiden Zeilen nur 0en enthalten hat das LGS unendlich viele Lösungen.
Die Geraden sind somit identisch und es gilt 1k+2s=-2 oder k=2s-2.
Wenn man also in g k durch 2s-2 ersetzt und zusammenfasst erhält man die Gerade h.
Beispiel 4:
Setzt man die Geraden
g:\vec x=\vek{2}{1}{2}+k\vek122
h:\vec x=\vek{0}{-3}{-3}+s\vek{-2}{-4}{-4}
gleich, so erhält man die Gleichung:
\vek{2}{1}{2}+k\vek122 = \vek{0}{-3}{-3}+s\vek{-2}{-4}{-4}
Und somit das Gleichungssystem
\begin{array}{rcl}
2+1k&=& 0-2s\\
1+2k&=& -3-4s\\
2+2k&=& -3-4s
\end{array}
Subtrahieren wir von der zweiten Gleichung 2 mal die erste Gleichung, erhalten wir:
-3+0k = -3+0s, also -3=-3 (eine wahre Aussage).
Rechnen wir die dritte Gleichung minus die zweite, erhalten wir:
1=0 (eine falsche Aussage).
Dies liegt daran, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind:
(-2)\cdot\vek122=\vek{-2}{-4}{-4}.
Da das LGS unlösbar ist (wegen der falschen Aussage) sind die Geraden windschief zueinander.
In Matrixschreibweise
Gleichungssystem so umformen, dass Variablen links und Konstanten rechts stehen:
\begin{array}{rcl}
2+1k&=& 0-2s\\
1+2k&=& -3-4s\\
2+2k&=& -3-4s
\end{array}
\begin{array}{rcl}
1k+2s&=& -2\\
2k+4s&=& -4\\
2k+4s&=& -5
\end{array}
Als Matrix schreiben und umformen:
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
2 & 4 & -4 \\
2 & 4 & -5 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
Die zweite Zeile liefert 0k+0s=1 also 0=1 und somit ist das LGS unlösbar.
Da die dritte Zeile nur 0en enthält sind die Geraden parallel.