$\newcommand{vek}[3]{\begin{pmatrix} #1\\#2\\#3\end{pmatrix}}$
< Index
Lage von Geraden zueinander
Zwei Geraden $g$ und $h$ können
- identisch sein
- sich in einem Punkt schneiden
- parallel zueinander sein
- windschief zueinander sein.
Das bedeutet, sie schneiden sich nicht aber die Richtungsvektor zeigen in unterschiedliche Richtungen.
Vorgehen
Um festzustellen, wie die Geraden $g$ und $h$ zueinander liegen kann man wie folgt vorgehen:
- Zuerst prüft man, ob die Richtungsvektoren linear voneinander abhängen.
-
Ist dies der Fall, so können sie nur parallel oder identisch sein.
Liegt ein beliebiger Punkt von $g$ in $h$ sind sie identisch, sonst parallel.
- Ist dies nicht der Fall, so können sie sich schneiden oder sind windschief.
Hierfür muss das Gleichungssystem $g=h$ gelöst werden. Hat es eine Lösung, so schneiden sie sich.
Ist es unlösbar, so sind sie windschief.
Eine anderer Weg ist, zuerst das Gleichungssystem $g=h$ zu lösen.
Hat das Gleichungssystem
- genau eine Lösung, so schneiden sie sich
- unendlich viele Lösungen, so sind sie identisch
- keine Lösung, so sind sie windschief oder parallel.
Dies prüft man anhand der Richtungsvektoren. Sind sie linear abhängig, so sind sie parallel andernfalls windschief.
Das Gleichungssystem $g=h$
Wenn man zwei Geraden
$g:\vec x=\vek{a_1}{a_2}{a_3}+k\vek{r_1}{r_2}{r_3}$
$h:\vec x=\vek{b_1}{b_2}{b_3}+s\vek{v_1}{v_2}{v_3}$
gleichsetzt erhält man:
$\begin{array}{rcl}
a_1+r_1k&=& b_1+v_1s\\
a_2+r_2k&=& b_2+v_2s\\
a_3+r_3k&=& b_3+v_3s
\end{array} $
bringt man die Unbekannten $k$ und $s$ nach links:
$\begin{array}{rcl}
r_1k-v_1s&=& b_1-a_1\\
r_2k-v_2s&=& b_2-a_2\\
r_3k-v_3s&=& b_3-a_3
\end{array} $
Jetzt hat man ein LGS mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen.
Wendet man das Gauss-Verfahren an so erhält man die Stufenform:
$\begin{array}{rcl}
r_1k-v_1s&=& b_1-a_1\\
v_2s&=& b_2-a_2\\
0&=& b_3-a_3
\end{array} $
In Matrixschreibweise
Wenn man das LGS als Matrix schreibt erhält man eine $3\!\times\! 3$-Matrix.
Formt man die Matrix in die Dreiecksform um so erhält man:
-
$\begin{pmatrix}
1 & a & k \\
0 & 1 & s \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$ wenn es einen Schnittpunkt gibt
-
$\begin{pmatrix}
1 & a & k \\
0 & 1 & s \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$ wenn es keinen Schnittpunkt gibt (windschief)
-
$\begin{pmatrix}
1 & a & k \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$ wenn es keinen Schnittpunkt gibt (parallel)
-
$\begin{pmatrix}
1 & a & k \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$ wenn die Geraden identisch sind
Beispiele
Beispiel 1:
Setzt man die Geraden
$g:\vec x=\vek{1}{2}{3}+k\vek201$
$h:\vec x=\vek{0}{1}{3}+s\vek120$
gleich, so erhält man die Gleichung:
$\vek{1}{2}{3}+k\vek201 = \vek{0}{1}{3}+s\vek120$
Und somit das Gleichungssystem
$\begin{array}{rcl}
1+2k&=& 0+1s\\
2+0k&=& 1+2s\\
3+1k&=& 3+0s
\end{array} $
Die zweite Gleichung liefert: $s=\frac12$
Die dritte Gleichung liefert: $k=0$
Setzt man dies in die erste Gleichung ein erhält man:
$1+2\cdot 0 = 0+1\cdot\frac12$
also $1=\frac12$ somit ist das LGS unlösbar.
Da die Richtungsvektor nicht in die gleiche Richtung zeigen (nicht linear abhängig sind)
und es keinen Schnittpunkt gibt (LGS unlösbar) sind $g$ und $h$ windschief zueinander.
In Matrixschreibweise
Gleichungssystem so umformen, dass Variablen links und Konstanten rechts stehen:
$\begin{array}{rcl}
1+2k&=& 0+1s\\
2+0k&=& 1+2s\\
3+1k&=& 3+0s
\end{array} $
$\begin{array}{rcl}
2k-1s&=& 0\\
0k-2s&=& -1\\
1k+0s&=& 0
\end{array} $
Als Matrix schreiben und umformen:
$\begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
0 & -2 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\sim \begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 1 \\
\end{pmatrix}$
$\sim \begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -\frac12 \\
\end{pmatrix}
\sim \begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -\frac12 \\
\end{pmatrix}$
$\sim \begin{pmatrix}
2 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -\frac52 \\
\end{pmatrix}
$
Beispiel 2:
Setzt man die Geraden
$g:\vec x=\vek{1}{0}{1}+k\vek111$
$h:\vec x=\vek{0}{-4}{3}+s\vek120$
gleich, so erhält man die Gleichung:
$\vek{1}{0}{1}+k\vek111 = \vek{0}{-4}{3}+s\vek120$
Und somit das Gleichungssystem
$\begin{array}{rcl}
1+1k&=& 0+1s\\
0+1k&=& -4+2s\\
1+1k&=& 3+0s
\end{array} $
Die dritten Gleichung liefert: $k=2$
Setzt man dies in die erste Gleichung ein erhält man:
$1+1\cdot 2 = 0+1\cdot s$
also ist $s=3$.
Mit $k=2$ und $s=3$ liefert die zweite Gleichung $2=-4+2\cdot 3$, also $2=2$.
Dies ist eine wahre Aussage.
Somit ist der Schnittpunkt bei $k=2$ bzw. $s=3$:
$(3\mid 2\mid 3)$.
In Matrixschreibweise
Gleichungssystem so umformen, dass Variablen links und Konstanten rechts stehen:
$\begin{array}{rcl}
1+1k&=& 0+1s\\
0+1k&=& -4+2s\\
1+1k&=& 3+0s
\end{array} $
$\begin{array}{rcl}
1k-1s&=& -1\\
1k-2s&=& -4\\
1k-0s&=& 2
\end{array} $
Als Matrix schreiben und umformen:
$\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
1 & -2 & -4 \\
1 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & -3 \\
0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$
Somit ist hier $s=3$ und da die letzte Zeilen nur 0en enthalten ist es eindeutig lösbar
(es gibt genau einen Schnittpunkt).
Beispiel 3:
Setzt man die Geraden
$g:\vec x=\vek{2}{1}{1}+k\vek122$
$h:\vec x=\vek{0}{-3}{-3}+s\vek{-2}{-4}{-4}$
gleich, so erhält man die Gleichung:
$\vek{2}{1}{1}+k\vek122 = \vek{0}{-3}{-3}+s\vek{-2}{-4}{-4}$
Und somit das Gleichungssystem
$\begin{array}{rcl}
2+1k&=& 0-2s\\
1+2k&=& -3-4s\\
1+2k&=& -3-4s
\end{array} $
Subtrahieren wir von der zweiten Gleichung 2 mal die erste Gleichung, erhalten wir:
$-3+0k = -3+0s$, also $-3=-3$ (eine wahre Aussage).
Rechnen wir die dritte Gleichung minus die zweite, erhalten wir:
$0=0$ (eine wahre Aussage).
Dies liegt daran, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind:
$(-2)\cdot\vek122=\vek{-2}{-4}{-4}$.
Der Aufpunkt von $h$ liegt auf $g$ (mit $k=-2$).
Somit sind die Geraden identisch.
In Matrixschreibweise
Gleichungssystem so umformen, dass Variablen links und Konstanten rechts stehen:
$\begin{array}{rcl}
2+1k&=& 0-2s\\
1+2k&=& -3-4s\\
1+2k&=& -3-4s
\end{array} $
$\begin{array}{rcl}
1k+2s&=& -2\\
2k+4s&=& -4\\
2k+4s&=& -4
\end{array} $
Als Matrix schreiben und umformen:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
2 & 4 & -4 \\
2 & 4 & -4 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$
Da die letzte beiden Zeilen nur 0en enthalten hat das LGS unendlich viele Lösungen.
Die Geraden sind somit identisch und es gilt $1k+2s=-2$ oder $k=2s-2$.
Wenn man also in $g$ $k$ durch $2s-2$ ersetzt und zusammenfasst erhält man die Gerade $h$.
Beispiel 4:
Setzt man die Geraden
$g:\vec x=\vek{2}{1}{2}+k\vek122$
$h:\vec x=\vek{0}{-3}{-3}+s\vek{-2}{-4}{-4}$
gleich, so erhält man die Gleichung:
$\vek{2}{1}{2}+k\vek122 = \vek{0}{-3}{-3}+s\vek{-2}{-4}{-4}$
Und somit das Gleichungssystem
$\begin{array}{rcl}
2+1k&=& 0-2s\\
1+2k&=& -3-4s\\
2+2k&=& -3-4s
\end{array} $
Subtrahieren wir von der zweiten Gleichung 2 mal die erste Gleichung, erhalten wir:
$-3+0k = -3+0s$, also $-3=-3$ (eine wahre Aussage).
Rechnen wir die dritte Gleichung minus die zweite, erhalten wir:
$1=0$ (eine falsche Aussage).
Dies liegt daran, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind:
$(-2)\cdot\vek122=\vek{-2}{-4}{-4}$.
Da das LGS unlösbar ist (wegen der falschen Aussage) sind die Geraden windschief zueinander.
In Matrixschreibweise
Gleichungssystem so umformen, dass Variablen links und Konstanten rechts stehen:
$\begin{array}{rcl}
2+1k&=& 0-2s\\
1+2k&=& -3-4s\\
2+2k&=& -3-4s
\end{array} $
$\begin{array}{rcl}
1k+2s&=& -2\\
2k+4s&=& -4\\
2k+4s&=& -5
\end{array} $
Als Matrix schreiben und umformen:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
2 & 4 & -4 \\
2 & 4 & -5 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$
Die zweite Zeile liefert $0k+0s=1$ also $0=1$ und somit ist das LGS unlösbar.
Da die dritte Zeile nur 0en enthält sind die Geraden parallel.