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Eine Gerade in der vektoriellen Geometrie ist dreidimensional, d.h. sie breitet sich in drei Dimension aus. Diese nennen wir $x_1, x_2$ und $x_3$.
Zur Darstellung verwendet man einen Ortsvektor (als Aufpunkt) und einen Richtungsvektor.
Der Richtungsvektor entspricht der Steigung.

Die Gerade $g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ hat als Aufpunkt $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ und als Richtungsvektor $\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$.

Der Parameter vor dem Richtungsvektor dient der Skalierung des Vektors. Hier kann man jede reelle Zahl einsetzen und erhält dann einen Punkt auf der Geraden.
$g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$

Beispiel: Nehmen wir unsere Gerade von eben $g:\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ und setzen Werte für $k$ ein:

• Mit $k=0$ bekommen wir $\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ 0\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$
  Dies ist der Ortsvektor des Aufpunkts, denn wir gehen von hier aus 0 mal den Richtungsvektor weiter.
• Mit $k=1$ bekommen wir $\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ 1\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$
• Mit $k=0,5$ bekommen wir $\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ 0{,}5\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\1\\3{,}5\end{pmatrix}$
• Mit $k=-2$ bekommen wir $\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ (-2)\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3\\6\\1\end{pmatrix}$
• Mit $k=100$ bekommen wir $\vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ 100\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}201\\198\\103\end{pmatrix}$