Eine Ebene $E$ schneidet die Koordinaten-Achsen in einem Punkt (wenn sie nicht parallel zu ihr verläuft).
Diese Schnittpunkte nennt man Spurpunkte der Ebene.
Eine Ebene $E$ schneidet die Koordinaten-Ebenen in einer Geraden (wenn nicht parallel).
Diese Schnitt-Gerade nennt man Spurgerade.
Spurpunkte einer Ebene bestimmen
Für die Koordinaten-Achsen gilt:
$x_1$-Achse: $x_2=0$ und $x_3=0$
$x_2$-Achse: $x_1=0$ und $x_3=0$
$x_3$-Achse: $x_1=0$ und $x_2=0$
Setzt man dieses Wissen in das $\vec x$ der Ebene ein, so erhält man die Gleichung
Spurpunkt in der $x_1$-Achse:
$\vek{x_1}{0}{0} = E$
Spurpunkt in der $x_2$-Achse:
$\vek0{x_2}0 = E$
Spurpunkt in der $x_3$-Achse:
$\vek00{x_3} = E$
Jetzt nimmt man die zwei Gleichungen mit der 0 und löst das Gleichungssystem.
Hier erhält die Werte für die Parameter der Ebenengleichung. Mit ihnen kann man $x_1$ (bzw. $x_2$ oder $x_3$) berechnen.
Beispiel:Gegeben: $E:\;\vec x = \vek{1}{2}{1} + k\cdot \vek{0}{1}{2} + s\cdot \vek{2}{2}{1}$ Gesucht: Spurpunkte von $E$ Lösung $S_1$:
Die unteren zwei Gleichungen ergeben:
$\begin{array}{rcl}
0&=& 2+1k+2s\\
0&=& 1+2k+1s
\end{array} $
Unbekannte nach links und Konstanten nach rechts ergibt:
$\begin{array}{rcl}
-k-2s&=& 2\\
-2k- s&=& 1
\end{array} $
$-2$ mal die erste Gleichung plus die zweite Gleichung ergibt:
$0k+3s = -3$ also ist $s=-1$.
Setzt man $s=1$ in die erste Gleichung ein erhält man: $-k-(-1) = 1$,
also ist $k=0$.
Setzt man $s=-1$ und $k=0$ in $E$ ein erhält man:
$\vek{1}{2}{1} +0\cdot \vek{0}{1}{2} - 1\cdot \vek{2}{2}{1}=\vek{-1}00$
Somit ist der Spurpunkt in der $x_1$-Achse: $S_1=(-1\mid 0 \mid 0)$
Die erste und letzte Gleichung ergeben:
$\begin{array}{rcl}
0&=& 1+0k+2s\\
0&=& 1+2k+1s
\end{array} $
Unbekannte nach links und Konstanten nach rechts ergibt:
$\begin{array}{rcl}
-2s&=& 1\\
-2k- s&=& 1
\end{array} $
Die erste Gleichung ergibt: $s=-\frac12$.
Setzt man $s=-\frac12$ in die zweite Gleichung ein erhält man: $-2k-\left(-\frac12\right) = 1$,
also ist $k=-\frac14$.
Setzt man $s=-1$ und $k=0$ in $E$ ein erhält man:
$\vek{1}{2}{1} -\frac14\cdot \vek{0}{1}{2} - \frac12\cdot \vek{2}{2}{1}=\vek0{\frac34}0$
Somit ist der Spurpunkt in der $x_2$-Achse: $S_1=(0 \mid \frac34 \mid 0)$
Die ersten beiden Gleichungen ergeben:
$\begin{array}{rcl}
0&=&1+0k+2s\\
0&=&2+1k+2s
\end{array} $
Unbekannte nach links und Konstanten nach rechts ergibt:
$\begin{array}{rcl}
-2s&=& 1\\
-k-2s&=& 2
\end{array} $
Die erste Gleichung ergibt: $s=-\frac12$.
Setzt man $s=-\frac12$ in die zweite Gleichung ein erhält man: $-k-2\left(-\frac12\right) = 2$,
also ist $k=-1$.
Setzt man $s=-\frac12$ und $k=-1$ in $E$ ein erhält man:
$\vek{1}{2}{1} -1\cdot \vek{0}{1}{2} - \frac12\cdot \vek{2}{2}{1}=\vek00{-\frac32}$
Somit ist der Spurpunkt in der $x_3$-Achse: $S_1=(0 \mid 0 \mid -\frac32 )$
Spurgeraden einer Ebene bestimmen
Um den Schnitt zwischen einer Ebene $E$ und einer Koordinaten-Ebene zu bestimmen, gibt es zwei Wege.
Der erste Weg ist, dass man die Spurpunkte bestimmt und aus jeweils zwei Spurpunkte eine Gerade macht.
Für den zweiten Weg nimmt man das Wissen, dass für die:
$x_1x_2$-Ebene $x_3=0$ ist
$x_1x_3$-Ebene $x_2=0$ ist
$x_2x_3$-Ebene $x_1=0$ ist
Somit erhält man pro Koordinaten-Ebene eine Gleichung mit zwei Unbekannten.
Diese formt man nach einer Unbekannten um und setzt es in die Ebenengleichung ein und fasst zusammen.
Beispiel:Gegeben: $E:\;\vec x = \vek{1}{2}{1} + k\cdot \vek{0}{1}{2} + s\cdot \vek{2}{2}{1}$ Gesucht: Spurgeraden von $E$ Lösung $g_{12}$:
Mit $x_3=0$ erhalten wird die Gleichung:
$1+2k+s=0$
Nach $s$ umgeformt ergibt sich: $s=-1-2k$
Setzt man für $s$ nun $-1-2k$ ein, erhält man:
$\vek{1}{2}{1} +k\cdot \vek{0}{1}{2} +(-1-2k)\cdot \vek{2}{2}{1}$
$=\vek{1}{2}{1} +k\cdot \vek{0}{1}{2} -1\cdot \vek{2}{2}{1}-2k\cdot \vek{2}{2}{1}$
$=\vek{1}{2}{1}-1\cdot \vek{2}{2}{1} +k\cdot \vek{0}{1}{2} -2k\cdot \vek{2}{2}{1}$
$=\vek{-1}{0}{0} +k\cdot \vek{-4}{-3}{0}$
Somit ist die Spurgerade in der $x_1x_2$-Ebene $g:\;\vec x = \vek{-1}{0}{0} +k\cdot \vek{-4}{-3}{0}$
Lösung $g_{13}$:
Mit $x_2=0$ erhalten wird die Gleichung:
$2+1k+2s=0$
Nach $k$ umgeformt ergibt sich: $k=-2-2s$
Setzt man für $k$ nun $-2-2s$ ein, erhält man:
$\vek{1}{2}{1} +(-2-2s)\cdot \vek{0}{1}{2} +s\cdot \vek{2}{2}{1}$
$=\vek{1}{2}{1} -2\cdot \vek{0}{1}{2}-2s\cdot \vek{0}{1}{2} +s\cdot \vek{2}{2}{1}$
$=\vek{1}{0}{-3} + s\cdot \vek{2}{0}{-3}$
Somit ist die Spurgerade in der $x_2x_3$-Ebene $g:\;\vec x = \vek{1}{0}{-3} + s\cdot \vek{2}{0}{-3}$
Lösung $g_{23}$:
Mit $x_1=0$ erhalten wird die Gleichung:
$1+0k+2s=0$ oder $1+2s=0$
Nach $s$ umgeformt ergibt sich: $s=-\frac12$
Setzt man für $s$ nun $-\frac12$ ein, erhält man:
$\vek{1}{2}{1} +k\cdot \vek{0}{1}{2} -\frac12\cdot \vek{2}{2}{1}$
$=\vek{0}{1}{\frac12} +k\cdot \vek{0}{1}{2} $
Somit ist die Spurgerade in der $x_2x_3$-Ebene $g:\;\vec x = \vek{0}{1}{\frac12} +k\cdot \vek{0}{1}{2}$
Darstellung mittels Spurpunkten
Eine Ebene kann der Zeichnung durch die Spurpunkte und die Linien zwischen den Spurpunkten veranschaulicht werden.
Die Ebene
$E:\; \vec x = \vek{3}{-4}{2} + r \vek{6}{2}{-2} + s \vek{0}{2}{-1}$
hat die Spurpunkte:
$(3\mid 0\mid 0)$
$(0\mid 2\mid 0)$
$(0\mid 0\mid 1)$
Zeichnet man diese drei Punkte in ein Koordinaten-System ein und verbindet sie paarweise, so erhält man eine Darstellung,
an der sich die Lage der Ebene gut erfassen lässt.
Ebene mit den Spurpunkten $(3\mid 0\mid 0), (0\mid 2\mid 0)$ und $(0\mid 0\mid 1)$.
Steht die Ebene so, dass sie in einer Achse keinen Spurpunkt hat, so ist sie parallel zu dieser Geraden.
Um diese Ebene darzustellen kann man die beiden Spurpunkte einzeichnen, diese verbinden und parallel zu der
verbleibenden Achse Linien nach oben ziehen.
Die Ebene $E:\;\vec x = \vek0{2}4 + r\vek{\frac32}{-1}{2} + t \vek{3}{-2}{0}$
hat die Spurpunkte:
$(3\mid 0\mid 0)$
$(0\mid 2\mid 0)$
Man zeichnet diese zwei Spurpunkte ein und verbindet sie.
Da es keinen Spurpunkt in der $x_3$-Achse hat, zieht man von den Spurpunkten senkrechte Linien nach oben.
Ebene mit den Spurpunkten $(3\mid 0\mid 0)$ und $(0\mid 2\mid 0)$ .
Ist die Ebene parallel zu einer Koordinaten-Ebene, dann erhält man nur einen Spurpunkt.
Hier kann man den Spurpunkt einzeichnen und eine Linie parallel zur einer Achse der Koordinaten-Ebenen.
Von dieser Linie kann man senkrechte Linien in Richtung der anderen Koordinaten-Achsen weg, um die Lage der Ebene zu verdeutlichen.
Die Ebene $E:\;\vec x = \vek0{0}1 + r\vek100 + t\vek010$
hat nur den Spurpunkt $(0\mid 0\mid 1)$
Somit ist kein Spurpunkt in der $x_1$-Achse und keiner in der $x_2$-Achse.
Daher ist sie parallel zur $x_1x_2$-Ebene.
Jetzt zeichnet man den Spurpunkt $(0\mid 0\mid 1)$ ein und eine Linie parallel zur $x_1$-Achse und von dieser
aus senkrechte Linien in $x_2$-Richtung.
