Um zu prüfen, ob ein Punkt $Q$ auf der Ebene $E:\;\vec x=\vec p + s\cdot\vec v_1 + k\cdot\vec v_2$
liegt, setzen wir für $\vec x$ den Ortsvektor $\overrightarrow{OQ}$ ein:
$\overrightarrow{OQ} = \vec p + s\cdot\vec v_1 + k\cdot\vec v_2$
Hat das entstehende LGS keine Lösung ist der Punkt nicht in der Ebene, sonst ist der Punkt in der Ebene.
Beispiel 1:
Gegeben: $P=(1\mid -3\mid 2)$ und $E:\;\vec x = \vek{1}{2}{1} + k\cdot \vek{-2}{-1}{4} + s\cdot \vek{4}{-0{,}5}{-7{,}5}$
Frage: Liegt $P$ in $E$?
Lösung:
Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ und $E$ gleichsetzen:
$\vek{1}{-3}{2} = \vek{1}{2}{1} + k\cdot \vek{-2}{-1}{4} + s\cdot \vek{4}{-0{,}5}{-7{,}5}$
Dies ergibt das LGS:
$\begin{array}{rcl}
1&=& 1-2k+4s\\
-3&=& 2-1k-0{,}5s\\
2&=& 1+4k-7{,}5s
\end{array} $
Unbekannte nach links und Konstanten nach rechts ergibt:
$\begin{array}{rcl}
2k-4s &=& 0\\
1k+0{,}5s &=& 5\\
-4k+7{,}5s &=& -1
\end{array} $
Erste Gleichung minus 2 mal zweite Gleichung ergibt:
$0k-5s = -10$ also ist $s=2$.
Setzt man $s=2$ in die erste Gleichung ein erhält man: $2k-4\cdot 2 = 0$,
also ist $k=4$.
Zum Test setzt man $s=2$ und $k=4$ in die dritte Gleichung ein:
$-4\cdot 4 +7{,}5\cdot 2 = -1$
zusammenfasst: $-1=-1$, da dies eine wahre Aussage ist liegt $P$ in $E$.
In Matrixschreibweise
$\begin{array}{rcl}
2k-4s &=& 0\\
1k+0{,}5s &=& 5\\
-4k+7{,}5s &=& -1
\end{array} $
Als Matrix schreiben und umformen (dabei kann man die erste Zeile noch durch 2 teilen):
$\left(\begin{array}{rr|r}
1 & -2 & 0 \\
1 & 0{,}5 & 5 \\
-4 & 7{,}5 & -1 \\
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{rr|r}
1 & -2 & 0 \\
0 & 2{,}5 & 5 \\
0 & -0{,}5 & -1 \\
\end{array}\right)
\sim $
$\left(\begin{array}{rr|r}
1 & -2 & 0 \\
0 & 2{,}5 & 5 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{rr|r}
1 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{rr|r}
1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
$
Somit ist $k=4$ und $s=2$.
Die dritte Zeile ist $0=0$ und somit ist das LGS eindeutig lösbar.
Beispiel 2:
Gegeben: $P=(4\mid 7\mid 6)$ und $E:\;\vec x = \vek{5}{5}{5} + k\cdot \vek{-2}{-3}{-4} + s\cdot \vek{1}{2}{9}$
Frage: Liegt $P$ in $E$?
Lösung:
Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ und $E$ gleichsetzen:
$\vek{4}{7}{6} = \vek{5}{5}{5} + k\cdot \vek{-2}{-3}{-4} + s\cdot \vek{1}{2}{9}$
Dies ergibt das LGS:
$\begin{array}{rcl}
4&=& 5-2k+1s\\
7&=& 5-3k-2s\\
6&=& 5-4k-9s
\end{array} $
Unbekannte nach links und Konstanten nach rechts ergibt:
$\begin{array}{rcl}
2k-1s &=& 1 \\
3k+2s &=& -2\\
4k+9s &=& -1
\end{array} $
2 mal die erste Gleichung minus dritte Gleichung ergibt:
$0k-11s = 3$ also ist $s=-\frac{3}{11}$.
Setzt man $s=-\frac{3}{11}$ in die erste Gleichung ein erhält man: $2k-1\cdot\left(-\frac{3}{11}\right) = 1$,
also ist $k=\frac4{11}$.
Zum Test setzt man $s=2$ und $k=4$ in die zweite Gleichung ein:
$3\left(\frac{4}{11}\right)+2\cdot\left(-\frac{3}{11}\right) = -2$
zusammenfasst: $\frac6{11}=-2$, da dies eine falsche Aussage ist, liegt $P$ nicht in $E$.
In Matrixschreibweise
$\begin{array}{rcl}
2k-1s &=& 1 \\
3k+2s &=& -2\\
4k+9s &=& -1
\end{array} $
Als Matrix schreiben und umformen (dabei kann man die erste Zeile noch durch 2 teilen):
$\left(\begin{array}{rr|r}
2 & -1 & 1 \\
3 & 2 & -2 \\
4 & 9 & -1 \\
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{rr|r}
2 & -1 & 1 \\
0 & 7 & -7 \\
0 & 9 & -6 \\
\end{array}\right)
\sim$
$\left(\begin{array}{rr|r}
2 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 3 & -2 \\
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{rr|r}
2 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
$
Die dritte Zeile ist $0=1$ und somit ist das LGS nicht lösbar.