$\newcommand{vek}[3]{\begin{pmatrix} #1\\#2\\#3\end{pmatrix}}$
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Besondere Lage

Die Lage einer Ebenen $E$ ist besonders, wenn sie parallel zu einer Koordinaten-Ebene ist.
Damit eine Ebene parallel zu einer Koordinaten-Ebene verläuft, darf sich der Abstand zu ihr nie ändern.
Somit müssen die Werte für ein $x_i$ in beiden Richtungsvektor 0 sein.

Somit muss in jedem Richtungsvektor der Ebene gelten Ist im Aufpunkt der Wert ebenfalls 0, so ist die Ebene identisch mit der Koordinaten-Ebenen.
Beispiele
  1. Die Ebene $E:\;\vec x = \vek{1}{2}{-5}+r\vek{1}{1}{0}+s\vek{1}{3}{0}$
    ist parallel zur $x_1x_2$-Ebene, da in beiden Richtungsvektoren $x_3=0$ ist.
  2. Die Ebene $E:\;\vec x = \vek102+r\vek{-3}0{-1}+s\vek{-1}{0}{0}$
    ist parallel zur $x_1x_3$-Ebene, da die beiden Richtungsvektor an der $x_2$-Stelle eine 0 haben.
    Da im Aufpunkt-Vektor zusätzlich $x_2=0$ gilt, liegt die $x_2$-Achse in $E$.
    Der zweite Richtungsvektor hat zwar für $x_3$ eine 0 stehen, aber der erste hat $x_3=-1$, somit ist $E$ nicht parallel zur $x_1x_2$-Ebene.
  3. Die Ebene $E:\;\vec x = \vek011+r\vek101+s\vek110$
    Ist zu keiner Ebene parallel, da jeweils ein Richtungsvektor eine Zahl ungleich 0 für jedes $x_i$ hat.

Parallele Ebenen aufstellen

Soll eine Ebene $E$ durch einen Punkt $P$ parallel zu einer Koordinaten-Ebene aufgestellt werden, so nimmt man $P$ als Aufpunkt und als Richtungsvektoren die beiden passenden aus $$ \vek100, \vek010, \vek001 $$
Soll die Ebene parallel zur
Beispiele
  1. Die Ebene $E$ soll parallel zur $x_1x_3$-Ebene sein und durch $(0\mid 2\mid 0)$ gehen.
    Die gesuchte Ebene ist:
    $E:\;\vec x = \vek020+r\vek100+s\vek001$
  2. Die Ebene $E$ soll parallel zur $x_2x_3$-Ebene sein und durch $(1\mid 2\mid 3)$ gehen.
    Die gesuchte Ebene ist:
    $E:\;\vec x = \vek123+r\vek010+s\vek001$
  3. Die Ebene $E$ soll parallel zur $x_1x_2$-Ebene sein und durch $(0\mid 0\mid 2)$ gehen.
    Die gesuchte Ebene ist:
    $E:\;\vec x = \vek002+r\vek100+s\vek010$

Besondere Ebenen und Spurpunkte

Wenn eine Ebene $E$ parallel zu einer Koordinaten-Ebene ist, so hat sie keine Spurpunkte in den Achsen der Koordinaten-Ebene.
Liegt $E$ in einer Koordinaten-Ebene, so hat sie natürlich unendlich viele Spurpunkte in den Achsen der Koordinaten-Ebene.
Ist die Ebene $E$ nur parallel zu einer Koordinaten-Achse, so hat sie in dieser keinen Spurpunkt.
Hat sie in der Koordinaten-Achse unendlich viele Spurpunkte, so liegt die Koordinaten-Achse in $E$.
Wenn man also in einer Aufgabe die Spurpunkt von $E$ bestimmen muss und später die besondere Lage von $E$ bestimmen soll, kann man dies ohne zusätzliche Rechnung mit den Spurpunkten begründen.
Hat die Ebene $E$