$\newcommand{vek}[3]{\begin{pmatrix} #1\\#2\\#3\end{pmatrix}}$
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Ebene
Zur Darstellung verwendet man einen Ortsvektor (als Aufpunkt) und zwei Richtungsvektoren.
Die zwei Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein (sonst wäre es ja nur eine Gerade).
Die Ebene $E:\vec x = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+s\vek{1}{0}{0}+k\vek{0}{1}{0}$
hat als Aufpunkt $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ und
als Richtungsvektoren
$\vek{1}{0}{0}$ und $\vek{0}{1}{0}$.
Durch die Parameter $s$ und $k$ kann man beliebig in die Richtung der Richtungsvektoren gehen.
Bei dieser Ebene ist der Aufpunkt der Ursprung und die Richtungsvektoren zeigen entlang der
$x_1$- und $x_2$-Achse.
Somit ist Ebene $E$ genau die $x_1x_2$-Ebene.
Punkte in der Ebenen bestimmen
Die Parameter vor den Richtungsvektoren dienen der Skalierung der Vektoren.
Hier kann man jede reelle Zahl einsetzen und erhält dann einen Punkt auf der Geraden.
Beispiel: gegeben ist die Ebene $E:\vec x = \vek114+s\vek{2}{1}{-1}+k\vek{3}{3}{0}$
- Mit $s=0$ und $k=0$ bekommen wir
$\vek114+0\cdot \vek{2}{1}{-1}+0\cdot \vek{3}{3}{0}=\vek114$
Dies ist der Ortsvektor des Aufpunkts, denn wir gehen von hier aus 0 mal die Richtungsvektoren weiter.
- Mit $s=1$ und $k=0$ bekommen wir
$\vek114+1\cdot \vek{2}{1}{-1}+0\cdot \vek{3}{3}{0}=\vek{3}{2}{3}$
- Mit $s=-2$ und $k=-1$ bekommen wir
$\vek114+(-2)\cdot \vek{2}{1}{-1}+(-1)\cdot \vek{3}{3}{0}=\vek{-6}{-4}{6}$