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Zusammenfassung
Die Funktion bestimmt den $y$-Wert für ein $x$.
Die erste Ableitung gibt die Steigung der Funktion an ($m=f'(x)$).
Die zweite Ableitung gibt an ob die Funktion linksgekrümmt ($f''(x)\gt 0$) oder rechtsgekrümmt ($f''(x)\lt 0$) ist.
Ableiten
Die erste Ableitung bekommt man, indem man die Funktion ableitet.
Die zweite Ableitung bekommt man, indem man die Funktion zweimal ableitet. Also die erste Ableitung nochmal ableitet.
Die dritte Ableitung bekommt man, indem man die Funktion dreimal ableitet. Also die zweite Ableitung nochmal ableitet.
Ableitung von Grundfunktionen
$\begin{array}{l|l l}
\text{Funktion} & \text{Ableitung} \\\hline
f(x)=c & f'(x)=0 & \text{mit } c\in\mathbb{R} \\\hline
f(x)=x^n & f'(x)=n\,x^{n-1} & \text{mit } n\in\mathbb{Q}^* \\\hline
f(x)=e^x & f'(x)=e^x \\\hline
f(x)=\sin(x) & f'(x)=\phantom{-}\cos(x) \\\hline
f(x)=\cos(x) & f'(x)=-\sin(x) \\\hline
\end{array}$
Ableitungsregeln
$\begin{array}{l|l|l l}
& \text{Funktion} & \text{Ableitung} \\\hline
\text{Faktorregel:} & f(x)=c\cdot u(x) & f'(x)=c\cdot u'(x) & \text{mit } c\in\mathbb{R} \\\hline
\text{Summenregel:} & f(x)=u(x)\pm v(x) & f'(x)=u'(x)\pm v'(x) \\\hline
\text{Produktregel:}& f(x)=u(x)\cdot v(x) & f'(x)=u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\\hline
\text{Kettenregel:} & f(x)=u(mx+b) & f'(x)=m\cdot u'(mx+b) \\\hline
\end{array}$
Tangenten
Die Tangente an den Graphen von $f(x)$ bei $x_0$ bekommt man mittels:
$y= f'(x)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$
Extrema
Es liegt bei $x_0$ ein Extremum vor, wenn die erste Ableitung bei $x_0$ Null ist und einen Vorzeichenwechsel macht.
Das hinreichende Kriterium ist für
- einen Hochpunkt: $f'(x_0)=0$ und $f''(x)\lt 0 $
- einen Tiefpunkt: $f'(x_0)=0$ und $f''(x)\gt 0 $
Den $y$-Wert für den Extrempunkt bekommt man mittels $f(x_0)$.
Wendepunkte
Es liegt bei $x_0$ eine Wendestelle vor, wenn die zweite Ableitung bei $x_0$ Null ist und einen Vorzeichenwechsel macht.
Das hinreichende Kriterium ist für einen Wendestelle ist:
$f''(x_0)=0$ und $f'''(x)\neq 0 $
Den $y$-Wert für den Wendepunkt bekommt man mittels $f(x_0)$.