Polynomfunktion aufstellen

Um eine Polynomfunktion aus gegeben Punkten aufzustellen stellt man ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löst es. Die Lösung gibt die Werte für die Koeffizienten an.
Bisher hatten wir nur Punkte gegeben, jetzt können wir auch Steigungswerte gegeben bekommen, denn damit kann man mit Hilfe der 1. Ableitung ebenfalls eine Gleichung aufstellen.

Beispiel

geg: Die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=ax^2-x$.
ges: Der Wert für $a$, so dass die Parabel bei $x=1$ die Steigung 2 hat.
Lösung:

Die Ableitung ist: $f'(x)=2ax-1$
Es soll laut Aufgabenstellung gelten $f'(1)=2$
Somit gilt:
$\begin{array}{rcll} f'(1) &=& 2 &\ | \text{ Term einsetzen} \\ 2a\cdot 1-1 &=& 2 &\ | \text{ zusammenfassen}\\ 2a-1 &=& 2 &\ |\ +1\\ 2a &=& 3 &\ |\ :2\\ a &=& \frac32 \\ \end{array}$
Somit ist $a=\frac32$ und die gesuchte Funktion lautet:

$f(x)=\frac32 x^2-x$

Informationsgehalt von Angaben

Ein Punkt $P(x_0\mid y_0)$ liefert eine Gleichung:
$f(x_0)=y_0$
Ein Steigung $m$ bei $x_0$ liefert eine Gleichung:
$f'(x_0)=m$
Ein Extrempunkt $E(x_0\mid y_0)$ liefert zwei Gleichung:
$f(x_0)=y_0$ und
$f'(x_0)=0$
Ein Extremstelle bei $x_0$ oder als $E(x_0\mid f(x_0))$ liefert eine Gleichung:
$f'(x_0)=0$, da hier kein $y$-Wert gegeben ist hat man keinen Punkt den man in $f(x)$ einsetzen könnte.
Ein Wendepunkt $W(x_0\mid y_0)$ liefert zwei Gleichung:
$f(x_0)=y_0$ und
$f''(x_0)=0$
Ein Wendestelle bei $x_0$ oder als $W(x_0\mid f(x_0))$ liefert eine Gleichung:
$f''(x_0)=0$, da hier kein $y$-Wert gegeben ist hat man keinen Punkt den man in $f(x)$ einsetzen könnte.
Achsensymmetrie liefert die Information, dass alle Koeffizienten mit ungeraden Hochzahlen 0 sind.
Ursprungssymmetrie liefert die Information, dass alle Koeffizienten mit geraden Hochzahlen 0 sind.

Beispiele

Gesucht ist ein zum Ursprung symmetrisches Polynom 3. Grades, das einen Extrempunkt bei $E(2\mid 2)$ hat.
Lösung:
Polynom 3. Grades: $f(x)=a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$
Da es ursprungssymmetrisch ist sind $a_2=0$ und $a_0=0$.
Es bleibt also $f(x)=a_3 x^3+a_1x$ übrig.
Der Extrempunkt $E(2\mid 2)$ liefert uns zwei Gleichungen:
$f(2)=2$ und
$f'(2)=0$
Die Funktion und ihre Ableitung sind:
$f(x) =a_3 x^3+a_1x$
$f'(x)=3a_3 x^2+a_1$

Werte einsetzen:
$f(2) = a_3 2^3+a_1\cdot 2 = 2$
$f'(2) = 3a_3 2^2+a_1 = 0$

Fassen wir zusammen und ordnen wir:
$8 a_3+2a_1 = 2$
$12a_3+1a_1 = 0$

Jetzt lösen wir das LGS:
$8 a_3+2a_1 = 2$
$12a_3+1a_1 = 0$
1. Gleichung -2 mal 2. Gleichung liefert:
$-16a_3 = 2$
Somit ist $a_3=-\frac{1}{8}$

Setzen wir $a_3=-\frac{1}{8}$ in die 1. Gleichung ein:
$8 \left(-\frac{1}{8}\right)+2a_1 = 2$
Das ergibt für $a_1=\frac32$
Die gesuchte Funktion ist somit:
$f(x)=-\frac{1}{8}x^3+\frac32x$
Probe:
$f(x)=-\frac{1}{8}x^3+\frac32x$
$f'(x)=-\frac{3}{8}x^2+\frac32$

$f'(2)=-\frac{3}{8}2^2+\frac32 = 0 $ korrekt
$f(2)=-\frac{1}{8}2^3+\frac32\cdot 2= 2$ korrekt
Der Graph der Funktion $f(x)=ax^4+bx^2+c$ geht durch $P(0\mid -2)$ und hat einen Extrempunkt bei $E_1(-1\mid 0)$
Gleichungen aufstellen:
$P$ liefert $f(0)=-2$ und
$E_1$ liefert $f'(-1)=0$ und $f(-1)=1$

Ableitung bestimmen:
$f(x)=ax^4+bx^2+c$
$f'(x)=4ax^3+2bx$

Werte einsetzen:
$f(0) =-2 \Rightarrow a0^4+b0^2+c=-2$
$f(-1) = 0 \Rightarrow a(-1)^4+b(-1)^2+c=0$
$f'(-1) = 0 \Rightarrow 4a(-1)^3+2b(-1)=0$

Zusammenfassen:
$c=-2$
$a+b+c=0$
$-4a-2b=0$

Löst man das Gleichungssystem erhält man:
$ a=-2$
$ b=4$
$ c=-2$
Der Graph der Funktion $f(x)=\frac12x^3+bx^2+c$ hat eine Wendestelle bei $x=2$ und geht durch $P(3\mid -12{,}5)$
Gleichungen aufstellen:
Die Wendestelle liefert $f''(2)=0$ und
$P$ liefert $f(3)=-12{,}5$

Ableitung bestimmen:
$f(x)=\frac12x^3+bx^2+c$
$f'(x)=\frac32x^2+2bx$
$f''(x)=3x+2b$

Werte einsetzen:
$f''(2)=0 \Rightarrow 3\cdot 2+2b=0$ und
$f(3)=-12{,}5 \Rightarrow \frac12(3)^3+b(3)^2+c=-12{,}5$

Zusammenfassen:
$6+2b=0$
$13{,}5+9b+c=-12{,}5$

Löst man das Gleichungssystem erhält man:
$ b=-3$
$ c=1$