Der Graph hat bei $x_0$ eine waagerechte Tangente, wenn $f'(x_0)=0$ ist.
Da die Ableitung die Steigung der Tangente angibt, kann man Punkte mit waagrechter Tangente finden, indem man die erste Ableitung 0 setzt und
die Gleichung nach $x$ auflöst. Den $y$-Wert liefert $f(x)$.
Wenn die erste Ableitung bei $x_0$ 0 ist und einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus macht, dann ist bei $x_0$ ein Hochpunkt.
Denn vor dem Punkt mit der waagerechten Tangente steigt der Funktionsgraph ($f'(x)\gt 0$)
und nach dem Punkt fällt der Funktionsgraph ($f'(x)\lt 0$).
Da der Funktionsgraph erst wächst, dann waagerecht ist und danach fällt, muss der Punkt mit der waagerechten Tangente der höchste in diesem
Intervall sein.
Graph von $f(x)=x^3-2x$ und
die Tangente am Hochpunkt
Wenn die erste Ableitung bei $x_0$ 0 ist und einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus macht, dann ist bei $x_0$ ein Tiefpunkt.
Denn vor dem Punkt mit der waagerechten Tangente fällt der Funktionsgraph ($f'(x)\lt 0$)
und nach dem Punkt steigt der Funktionsgraph ($f'(x)\gt 0$).
Da der Funktionsgraph erst fällt, dann waagerecht ist und danach wächst, muss der Punkt mit der waagerechten Tangente der tiefste in diesem
Intervall sein.
Graph von $f(x)=x^3-2x$ und
die Tangente am Tiefpunkt
Wenn die erste Ableitung eine Nullstelle bei $x_0$ aber keinen Vorzeichenwechsel hat, dann berührt die erste Ableitung die $x$-Achse nur.
Für den Funktionsgraph bedeutet dies, dass er vor $x_0$ steigt und nach $x_0$ steigt (oder vorher fällt und nachher fällt).
Dadurch ist bei $x_0$ weder ein Hoch- noch ein Tiefpunkt. Solche Punkte nennt man Sattel- oder Terrassenpunkt.
Der Graph schneidet hier die Tangente bei $x_0$, da es sich um einen dreifachen Schnittpunkt handelt.
Tangenten haben mindestens einen doppelten Schnittpunkt mit dem Graphen. Aber mindestens 2 kann auch 3 oder 5 sein.
Immer wenn der Schnittpunkt mit der Tangente 3-fach, 5-fach, ... ist, schneidet die Tangente durch den Graph. Bei 2-fach, 4-fach, ... berührt
er ihn nur.
