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Verkettung von Funktionen

Eine Verkettung liegt vor, wenn man in eine Funktion das $x$ durch eine andere Funktion ersetzt.
Man schreibt $v(u(x))$ oder $v\circ u$.
Eine Funktion in mehrere verkettete Funktionen zu zerlegen, macht den Umgang mit ihnen leichter.
Wenn man $v(x)$ in $x$-Richtung verschiebt, verkettete man sie mit $x-c$. Somit ist $u(x)=x-c$ eine Funktion und $v\circ u = v(u(x)) = v(x-c)$ die verschobene Funktion.
Wenn man $v(x)$ in $x$-Richtung streckt, verkettete man sie mit $u(x)=a\cdot x$.
Somit ist $u(x)=a\cdot x$ eine Funktion und $v\circ u = v(u(x)) = v(a\cdot x)$ die gestreckte Funktion.

Verkettete Funktionen ableiten

Die Ableitung von verketteten Funktionen $v(u(x))$ ist $v'(u(x)) = u'(x)\cdot v'(u(x))$.
Also ist die Ableitung die inner Ableitung ($u'$) mal der äußeren ($v'$).
Ist die inner Funktion linear (also gilt $u(x)=m\,x+b$) gilt:
$\left(v(mx+b)\right)' = m\cdot v'(mx+b)$ oder eben
$\left(f(mx+b)\right)' = m\cdot f'(mx+b)$
Beispiele
  1. gegeben: $f(x)=(x+2)^4$
    gesucht: Die Ableitung $f'(x)$
    Lösung:
    Hier ist die äußere Funktion $v(x)=x^4$
    und die innere Funktion $u(x)=x+1$.
    $v'(x)=4x^3$
    $u'(x)=1$
    $\begin{array}{rcll} f'(x)&=&u'(x)\cdot v'(u(x)) & \ | u' \text{ und } v'\text{ einsetzen}\\ f'(x)&=&1\cdot 4(u(x))^3 & \ | u \text{ einsetzen}\\ f'(x)&=&1\cdot 4(x+2)^3 & \ | \text{ vereinfachen}\\ f'(x)&=&4(x+2)^3\\ \end{array}$
    Erkennt man die lineare Verkettung $v(1x+2)$ mit $v(x)=x^4$ so kann man auch
    $f'(x)=m\cdot v'(mx+b)$ verwenden.
  2. gegeben: $f(x)=2\sin(2x)$
    gesucht: Die Ableitung $f'(x)$
    Lösung:
    Hier ist die äußere Funktion $v(x)=2\sin(x)$
    und die innere Funktion $u(x)=2x$.
    $v'(x)=2\cos(x)$
    $u'(x)=2$
    $\begin{array}{rcll} f'(x)&=&u'(x)\cdot v'(u(x)) & \ | u' \text{ und } v'\text{ einsetzen}\\ f'(x)&=&2\cdot \cos(u(x)) & \ | u \text{ einsetzen}\\ f'(x)&=&2\cdot \cos(2x) \\ \end{array}$
  3. gegeben: $f(x)=e^{0{,}5x-6}$
    gesucht: Die Ableitung $f'(x)$
    Lösung:
    Hier ist die äußere Funktion $v(x)=e^x$
    und die innere Funktion $u(x)=0{,}5x-6$.
    $v'(x)=e^x$
    $u'(x)=0{,}5$
    $\begin{array}{rcll} f'(x)&=&u'(x)\cdot v'(u(x)) & \ | u' \text{ und } v'\text{ einsetzen}\\ f'(x)&=&0{,}5\cdot e^{u(x)} & \ | u \text{ einsetzen}\\ f'(x)&=&0{,}5\cdot e^{0{,}5x-6} \\ \end{array}$