Tangenten bestimmen

Will man die Tangente für einem bestimmten

x

$x$ -Wert

x_{0}

$x_0$ an die Funktion

f (x)

$f(x)$ bestimmen,
so erhält man mit der Funktion den

y

$y$ -Wert mit

y_{0} = f (x_{0})

$y_0=f(x_0)$ und
die Steigung der Tangente mit der Ableitung

m = f^{'} (x_{0})

$m=f'(x_0)$ .

Durch den Punkt

$P(x_0\mid y_0)$ kann man mit der Steigung

$m$ eine Gerade bestimmen, welche die Tangente ist.
Setzt man in

$y=mx+b$ ein erhält man

$y_0 = m\cdot x_0 + b$ .
Hier ist nur

$b$ unbekannt. Stellt man die Gleichung um erhält man

$b=y_0-m\cdot x_0$ .

Man kann natürlich auch die Punkt-Steigungsform für Geraden nehmen (

$y=m(x-x_0)+y_0$ ).
Da

$m=f'(x_0)$ und

$y_0=f(x_0)$ ist erhält man:
Tangentengleichung:

$y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$
Ausmultipliziert erhält man:

$y=f'(x_0)x-f'(x_0)x_0+f(x_0)$

Beispiele

Gegeben: f(x)=13x3
Gesucht: Tangente an den Graph von f bei x0=−2
Lösung:
- $y$ bestimmen: $f(-2)=-\frac83$
- Ableitung bestimmen: $f'(x)=x^2$
- Steigung bestimmen: $f'(-2)=4$
- In $y=mx+b$ einsetzen: $-\frac83=4\cdot (-2)+b$
  $b=\frac{16}3$
- Tangente angeben: $y=4x+\frac{16}3$
Graph von $f(x)=\frac13x^3$ und die Tangente bei $x=-2$
Gegeben: f(x)=2x2−2x+1
Gesucht: Tangente an den Graph von f bei x0=3
Lösung:
- $y$ bestimmen: $f(3)=13$
- Ableitung bestimmen: $f'(x)=4x-2$
- Steigung bestimmen: $f'(3)=10$
- In $y=mx+b$ einsetzen: $13=10\cdot 3+b$
  $b=-17$
- Tangente angeben: $y=10x-17$
Graph von $f(x)=2x^2-2x+1$ und die Tangente bei $x=3$

Tangenten bestimmen bei gegebenem xxx