Produkte Ableiten

Ein Produkt ist eine Multiplikation. Setzt sich eine Funktion $f$ aus dem Produkt zweier Funktionen zusammen, also $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ so ist ihre Ableitung:

$f'(x)=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)$

Beispiele:

gegeben: $f(x)=2x$
gesucht: $f'(x)$
Lösung:
$f(x)=2\cdot x$ also ist $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ ein Produkt
mit $u(x)=2$ und $v(x)=x$
somit sind $u'(x)=0$ und $v'(x)=1$
$f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) = 0\cdot x + 2\cdot 1 = 0+2 = 2$
$f'(x)=2$

Wir hätten hier die Regeln für $c\cdot f(x)$ und $x^n$ anwenden können und hätten das selbe Ergebnis erhalten. Oft gibt es mehrere Wege zum Ziel, man muss nur einen finden. Am Besten den kürzesten.
gegeben: $f(x)=(x-1)e^x$
gesucht: $f'(x)$
Lösung:
$f(x)=(x-1)\cdot e^x$ ist ein Produkt
wir wählen $u(x)=x-1$ und $v(x)=e^x$
Ableitungen: $u'(x)=1$ und $v'(x)=e^x$
Zusammengesetzt: $f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) = 1\cdot e^x+ (x-1)\cdot e^x$
$f'(x)= 1\cdot e^x+ (x-1)\cdot e^x$
Vereinfacht:
$f'(x)= e^x+ (x-1)\cdot e^x$
$f'(x)= e^x(1+ (x-1))$
$f'(x)= e^x\cdot x$
gegeben: Die Parabel in Produktform $f(x)=(x-2)(x+1)$
gesucht: $f'(x)$
Lösung:
$f(x)=(x-2)\cdot (x+1)$ ist ein Produkt
wir wählen $u(x)=x-2$ und $v(x)=x+1$
Ableitungen: $u'(x)=1$ und $v'(x)=1$
Zusammengesetzt: $f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) = 1\cdot (x+1)+ (x-2)\cdot 1$
$f'(x)= 1\cdot (x+1)+ (x-2)\cdot 1$
Vereinfacht:
$f'(x)= (x+1)+ (x-2)$
$f'(x)= x+1+ x-2$
$f'(x)= 2x-1$

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