Bei vielen Problemstellungen ist ein Optimum gefragt.
Es kann ein Minimum (z.B. kürzester Weg, geringste Kosten) oder
ein Maximum (z.B. größtes Volumen, größter Gewinn) sein.
Bei Optimierungsaufgaben ist meistens keine Funktion für die zu optimierende Größe
(wie Weglänge, Volumen, Gewinn)
gegeben. Diese muss erst erstellt werden.
Meistens ist ein Definitionsbereich gegeben (Wege können z.B. nicht negativ sein,
Produktionsmengen sind nicht beliebig steigerbar, ...).
Daher müssen neben den lokalen Extrema auch die Randwerte
(Funktionswerte am Anfang und Ende des Definitionsbereich) überprüft werden.
Ist der Wert am Rande des Definitionsbereich besser als das lokale Extrema, so ist
dies natürlich auch das Optimum.
Man spricht dann vom
globalen Optimum.
Ein Beispiel ist die
Schachtel aus Klasse 11.
Allgemeines Vorgehen:
- Zielfunktion aufstellen: Aus den Angaben modelliert man eine Funktion,
welche als Funktionswert die zu optimierende Größe hat
und als $x$-Wert die freie Variable.
Wird der Radius einer Dose mit fester Höhe gesucht, so dass das
Volumen maximal wird, braucht man eine Funktion $V(r)$,
die für einen Radius $r$ das Volumen angibt.
- Lokale Extrema ermitteln:
Dies sind Hochpunkte, wenn das Maximum oder Tiefpunkte, wenn das Minimum gesucht wird.
Man bestimmt Sie anhand der Zielfunktion.
Also Zielfunktion ableiten und Null setzen. Z.B. $V'(r)=0$.
Dann überprüfen man ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
- Randwerte überprüfen:
Ist der Definitionsbereich ein Intervall, wie z.B. $r\in[0;\ 10]$, so muss man
überprüfen, ob $V(0)$ oder $V(10)$ evtl. größer sind als das lokale Extremum.
