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Extrema von Sinus und Kosinus

Die Extrempunkte von Sinus- und Kosinus-Funktionen bestimmt man so, wie man alle Extrema bestimmt:
Beispiele:
  1. gegeben: $f(x)=\sin(\pi x)-1$
    gesucht: Extrema
    Lösung:
    $f(x)=\sin(\pi x)-1$
    $f'(x)=\pi\cdot\cos(\pi x)$
    $f''(x)=-\pi^2\cdot\sin(\pi x)$
    Nullstellen von $f'(x)$
    $\begin{array}{rcll} 0 &=& \pi\cdot\cos(\pi x) &\ |\ :\pi\\ 0 &=& \cos(\pi x) &\ |\ \pm\cos^{-1}(\dots)\\ \pm\frac\pi2 &=& \pi x &\ |\ :\pi\\ \pm\frac12 &=& x &\\ \end{array}$
    In einer Periode liegen die Nullstellen der ersten Ableitung bei $x_1=-\frac12$ und $x_2=\frac12$
    Weitere sind eine Periodenlänge weiter.
    Test mit zweiter Ableitung
    $f''\left(-\frac12\right)=-\pi^2\cdot\sin\left(\pi \left(-\frac12\right)\right)= 9{,}8696\gt 0 $
    Bei $x_1$ liegt also ein Tiefpunkt.
    $f''\left(\frac12\right)=-\pi^2\cdot\sin\left(\pi \left(-\frac12\right)\right)= -9{,}8696\lt 0 $
    Bei $x_2$ liegt also ein Hochpunkt.

    $y$-Werte
    $f\left(-\frac12\right)=-2$
    $f\left(\frac12\right)=0$
    Somit haben wir einen Tiefpunkt bei $TP\left(-\frac12\mid -2\right)$ und
    einen Hochpunkt bei $HP\left(\frac12\mid 0\right)$
  2. gegeben: $f(x)=3\cos(2x-\pi)+1$
    gesucht: Extrema
    Lösung:
    $f(x)=3\cos(2x-\pi)+1$
    $f'(x)=-6\sin(2x-\pi)$
    $f''(x)=-12\cos(2x-\pi)$
    Nullstellen von $f'(x)$
    $\begin{array}{rcll} 0 &=& -6\sin(2x-\pi) &\ |\ :(-6)\\ 0 &=& \sin(2x-\pi) &\ |\ \sin^{-1}(\dots)\\ 0 &=& 2x-\pi &\ \text{1. Lösung}\\ \pi-0 &=& 2x-\pi &\ \text{2. Lösung} \end{array}$
    Beide Lösungen nach $x$ umformen
    $\begin{array}{rclc|crcl} 0 &=& 2x-\pi & & \pi &=& 2x-\pi \\ \pi &=& 2x & & 2\pi&=& 2x \\ \frac\pi2 &=& x & & \pi&=& x \\ \end{array}$
    Wir haben die Nullstellen der 1. Ableitung bei:
    $x_1=\frac\pi2$ und $x_2=\pi$
    Weitere sind eine Periodenlänge weiter.
    Test mit zweiter Ableitung
    $f''\left(\frac\pi2\right)=-12\cos(2\frac\pi2-\pi)= -12\lt 0 $
    Bei $x_1$ liegt also ein Hochpunkt.
    $f''\left(\pi\right)=-12\cos(2 \pi-\pi)= 12\gt 0 $
    Bei $x_2$ liegt also ein Tiefpunkt.

    $y$-Werte
    $f\left(\frac\pi2\right)=4$
    $f\left(\pi\right)=-2$
    Somit haben wir einen Hochpunkt bei $TP\left(\frac\pi2\mid 4\right)$ und
    einen Tiefpunkt bei $TP\left(\pi\mid -2\right)$