Das Summen-Symbol
Das Zeichen $\sum$ ist der griechische Großbuchstabe Sigma.
Er wird in der Mathematik für Summen verwendet.
Unter das Sigma schreibt man die Summen-Variable und
ihren Startwert $\sum\limits_{i=1}$.
Über das Sigma schreibt man den Endwert der Variable
$\sum\limits_{i=1}^4 3=3+3+3+3$
$\sum\limits_{i=1}^4 i=1+2+3+4$
Rechenregeln:
- $\sum\limits_{i=1}^{n} k = \underbrace{k+k+\dots+k}_{n\text{-mal}} =n\cdot k$
- $\sum\limits_{i=a}^{b} k = (b-a+1)\cdot k$
Bsp.: $\sum\limits_{i=0}^{3} 5 = 5+5+5+5 = 4\cdot 5 = (3-0+1)\cdot 5$
- $\sum\limits_{i=a}^{b}k\cdot f(i)
=k\cdot\sum\limits_{i=a}^{b} f(i)$
Bsp.: $\sum\limits_{i=-1}^{2} 2i
= 2\cdot \sum\limits_{i=-1}^{2} i
= 2\cdot(-1+0+1+2) =4
$
- $\sum\limits_{i=a}^{b}(f(i)+g(i))
=\sum\limits_{i=a}^{b}f(i)+\sum\limits_{i=a}^{b}g(i)$
Einige Summen
- $\sum\limits_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$ (kleiner Gauß)
- $\sum\limits_{i=1}^{n}i^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4}$
- $\sum\limits_{i=0}^{n}q^k= \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (geometrische Summe)
für alle $0\lt q\lt 1$ gilt $\sum\limits_{i=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}$