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Strenge Monotonie

Eine Funktion $f$ ist streng monoton wachsen, wenn aus $x_0\lt x_1$ folgt: $f(x_0)\lt f(x_1)$
Sie ist streng monoton fallend, wenn aus $x_0\lt x_1$ folgt, dass $f(x_0)\gt f(x_1)$ gilt.
Einfach gesagt:
Wächst $f$ immer, so ist sie streng monoton wachsend.
Fällt $f$ immer, so ist sie streng monoton fallend.

Ist $f'(x)\gt 0$ so ist $f$ streng monoton wachsend.
Ist $f'(x)\lt 0$ so ist $f$ streng monoton fallend.
Die Umkehrung gilt allerdings nicht
Denn z.B. $f(x)=x^3$ ist streng monoton wachsend, obwohl $f'(0)=0$!
Mathematischer: Denn $f(0-\varepsilon)\lt f(0)\lt f(0+\varepsilon)$ für alle $\varepsilon\gt 0$
Streng monotone wachsende Funktionen
  • $f(x)=x$
  • $f(x)=mx+b$ mit $m\gt 0$
  • $f(x)=x^3, f(x)=x^5, f(x)=x^7$
  • $f(x)=e^x$
  • $f(x)=\sqrt{x}$ mit $x\in\mathbb{R}_+$
  • $f(x)=\ln(x)$ mit $x\in\;]0;\infty[$

Monotonie auf Intervallen

Die Funktion $f$ ist streng monoton auf $[a;b]$ wenn $f(x_0)\lt f(x_1)$ für alle $x_0\lt x_1$ aus $[a;b]$ gilt.
Beispiel: $f(x)=\frac43x^3-x$
$f'(x)=4x^2-1$ somit ist $f'(x)=0\Rightarrow x=\pm\frac12$
Da der Leitkoeffizient positiv ist, ist bei $x=-\frac12$ ein Hochpunkt (bis dahin steigt $f$) und bei $x=\frac12$ ein Tiefpunkt.
Somit fällt $f$ von $-\frac12$ bis $\frac12$ und steigt danach wieder.
$f$ ist streng monoton wachsend auf $]-\infty; -\frac12]$
$f$ ist streng monoton fallend auf $[-\frac12; \frac12]$
$f$ ist streng monoton wachsend auf $[\frac12; \infty[$

Monotonie und Extrema

Setzt man $g(x)$ in eine monotone Funktion ein, so bleiben die Extremstellen gleich (nur die $y$-Werte verändern sich).
Ist $g(x)$ streng monoton fallend, so vertauschen sich Hoch- und Tiefpunkte.
Beispiele
Finde Extrema
  1. $f(x)=e^{x^2+2x} $ $\Rightarrow g(x)=x^2+2x$ $\Rightarrow g'(x)=2x+2$ $\Rightarrow x=-1$
    Tiefpunkt (da $g$ eine nach oben geöffnete Parabel) bei $x=-1$ mit $f(-1)=e^{1-2}=e^{-1}$
  2. $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$
    $\Rightarrow g(x)=x^2+x+1$ $\Rightarrow g'(x)=2x+1$ $\Rightarrow x=-\frac12$
    Tiefpunkt bei $x=-\frac12$ mit $f\left(-\frac12\right)=0{,}87$.