Mehrdeutige und unlösbare LGS

• $z\neq0$ so ist es nicht lösbar (da z.B. $0a_2+0a_1+0a_0=3 \Rightarrow 0=3\;$ unlösbar).
  Soll ein Polynom durch $P_1(1\mid 2)$ und $P_2(1\mid 3)$ gehen, entsteht so ein LGS.
• $z=0$ so ist es mehrdeutig lösbar.
  Wenn $f(x)=ax^3+bx$ durch $P_1(-1\mid 3)$ und $P_2(1\mid 3)$ geht,
  ist $P_2$ keine neue Information, da $f$ ursprungssymmetrisch ist und somit $P_2$ aus $P_1$ folgt.

1. $\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ -1 & 3 & 2 & 0 \\ \end{array} \right) $
   $ \sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 5 & 5 & 0 \\ \end{array} \right) $
   $ \sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 &-15 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \\ \\ \Rightarrow 0=-15\ \text{unlösbar} \end{array} $
2. $ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 2 & 2 & 3\\ -1 & 3 & 2 & 0 \\ \end{array} \right)$
   $ \sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ -1 & 3 & 2 & 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \\ \Rightarrow 0=3\ \text{unlösbar} \\ \\ \end{array} $
3. $f(x)=ax^3+bx$ durch $P_1(-1\mid -3)$ und $P_2(1\mid 3)$
   $ \left( \begin{array}{rr|r} -1 & -1 &-3\\ 1 & 1 & 3\\ \end{array} \right)$
   $ \sim \left( \begin{array}{rr|r} -1 & -1 &-3\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) $
   $b$ ist frei wählbar wir setzen $1\cdot b=t$ und erhalten
   $ \left( \begin{array}{rr|r} -1 & -1 &-3\\ 0 & 1 & t\\ \end{array} \right) $
   $ \sim \left( \begin{array}{rr|r} -1 & 0 &-3+t\\ 0 & 1 & t\\ \end{array} \right) $
   $ \sim \left( \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 3-t\\ 0 & 1 & t\\ \end{array} \right) $
   Jede Funktion \[f_t(x)=(3-t)x^3+tx \text{ mit } t\in\mathbb{R}\] geht durch die Punkte $P_1(-1\mid -3)$ und $P_2(1\mid 3)$, denn
   $f(1)=(3-t)\cdot 1+t\cdot 1=3-t+t=3$
   und
   $f(-1)=(3-t)\cdot(-1)+t\cdot(-1)=-3+t-t=-3$