Lage Gerade und Parabel

Eine Gerade und eine Parabel können sich

nicht schneiden, dann nennt man die Gerade Passante (fr. passer = vorbeigehen).
zweimal schneiden, dann nennt man die Gerade Sekante (lat. secare = schneiden).
einmal schneiden, dann nennt man die Gerade Tangente (lat. tangere = berühren).

Eine Tangente hat einen doppelten Schnittpunkt mit der Parabel. Wenn man die Schnittstelle berechnet, bekommt man also eine Diskriminante mit dem Wert 0.
Bei anderen Kurven spricht man ebenfalls von einer Tangente, wenn sie in einem Punkt eine mindestens doppelte Schnittstelle mit der Geraden haben.

Schaubild mit Gerade, einer Sekante, einer Passante und einer Tangente — Parabel mit Sekante (grün), Tangente (blau) und einer Passante (rot)

Tangenten berechnen

Hat man einen Punkt $P$ (nicht zwingend auf der Parabel) und eine Parabel gegeben, so kann man die Tangenten durch diesen Punkt berechnen.
Vorgehen:

Macht man mit $P$ die Punktprobe in der allgemeinen Geraden $y=m\,x+b$, kann man $b$ in Abhängigkeit von $m$ bestimmen.
Durch Gleichsetzten der Parabelgleichung mit der Geraden (in der $m$ noch variable ist) erhält man eine quadratische Gleichung.
Von der quadratische Gleichung bestimmt man die Diskriminante und setzt diese gleich 0.
Löst man diese Gleichung erhält man Werte für $m$.
Mit $m$ kann man jetzt noch $b$ berechnen und erhält die fertigen Tangente.

Beispiele mit 2 Tangenten
Gegeben ist die Parabel mit der Funktion $f(x)=x^2+1$
Gegeben und der Punkt $P(-1\mid -2)$.
Gesucht sind die Tangenten durch $P$ an den Graph von $f$.
Lösung:

$P$ in $y=mx+b$ einsetzen: $-2 = m\cdot(-1)+b$ ergibt $b=m-2$
die Tangentengleichung ist somit $y=mx+\underbrace{m-2}_{=b}$
Gleichsetzten:
$\begin{array}{rcll} x^2+1 &=& mx+m-2 &\ |\ -mx\ \\ x^2-mx+1 &=& m-2 &\ |\ -m\\ x^2-mx-m+1 &=& -2 &\ |\ +2\\ x^2-mx-m+3 &=& 0 \end{array}$
Hier ist $a=1$, $b=-m$ und $c=-m+3$ und somit ist die Diskriminante $D=(-m)^2-4\cdot 1\cdot (-m+3)$
Diskriminante gleich 0 setzen und lösen:
$\begin{array}{rcll} 0 &=& (-m)^2-4\cdot 1\cdot (-m+3) & \ |\ \text{ausmultiplizieren}\\ 0 &=& m^2+4m-12 & \ |\ \text{Mitternachtsformel}\\ m_{1,2} &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot (-12)}}{2} \\ m_{1,2} &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2} \\ m_{1,2} &=& \dfrac{-4\pm 8}{2} \\ m_1 &=& \phantom{-}2 \\ m_2 &=& -6 \end{array}$
Mit $b=m-2$ erhalten wir $b_1 = 0$ und $b_2=-8$
Tangenten $y=2x$ und $y=-6x-8$

Die Parabel mit den zwei Tangenten — Die Parabel und die zwei Tangenten

Beispiele ohne Tangenten
Gegeben ist die Parabel mit der Funktion $f(x)=x^2-2\,x+1$
Gegeben und der Punkt $P(1\mid 4)$.
Gesucht sind die Tangenten durch $P$ an den Graph von $f$.
Lösung:

$P$ in $y=mx+b$ einsetzen: $4 = m\cdot(1)+b$ ergibt $b=4-m$
die Tangentengleichung ist somit $y=m\,x+\underbrace{4-m}_{=b}$
Gleichsetzten:
$\begin{array}{rcll} x^2-2\,x+1 &=& m\,x+4-m &\ |\ -mx\ \\ x^2-2\,x+1-m\,x &=& 4-m &\ |\ -4\ \\ x^2-2\,x+1-m\,x-4 &=& m &\ |\ -m\ \\ x^2-2\,x+1-m\,x-4-m &=& 0 &\ |\ \text{zusammenfassen} \\ x^2-(2+m)\,x-3-m &=& 0 & \\ \end{array}$
Hier ist $a=1$, $b=-(2+m)$ und $c=-3-m$ und somit ist die Diskriminante $D=(-(2+m))^2-4\cdot 1\cdot (-3-m)$
Diskriminante gleich 0 setzen und lösen:
$\begin{array}{rcll} 0 &=& (-(2+m))^2-4\cdot 1\cdot (-3-m) & \ |\ \text{ausmultiplizieren}\\ 0 &=& 4+4m+m^2 +12 +4\,m & \ |\ \text{zusammenfassen}\\ 0 &=& m^2 +8\,m+20 & \ |\ \text{Mitternachtsformel}\\ m_{1,2} &=& \dfrac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot 1 \cdot (20)}}{2} \\ m_{1,2} &=& \dfrac{-8\pm\sqrt{-16}}{2} \\ \end{array}$
Keine Lösung für $m$, da unter der Wurzel eine negative Zahl steht.
Im Schaubild sieht man, dass man keine Gerade durch $P$ legen kann, so dass sie die Parabel berührt.
Ein Schnittpunkt würde immer links und einer rechts von $P$ liegen.

Die Parabel und der Punkt (1 | 4) — Die Parabel und der Punkt $P(1 \mid 4)$

Beispiele mit einer Tangenten
Gegeben ist die Parabel mit der Funktion $f(x)=x^2-2\,x+2$
Gegeben und der Punkt $P(1\mid 1)$.
Gesucht sind die Tangenten durch $P$ an den Graph von $f$.
Lösung:

$P$ in $y=mx+b$ einsetzen: $1 = m\cdot(1)+b$ ergibt $b=1-m$
die Tangentengleichung ist somit $y=m\,x+\underbrace{1-m}_{=b}$
Gleichsetzten:
$\begin{array}{rcll} x^2-2\,x+2 &=& m\,x+1-m &\ |\ -mx\ \\ x^2-2\,x+2-m\,x &=& 1-m &\ |\ -1\ \\ x^2-2\,x+2-m\,x-1 &=& -m &\ |\ +m\ \\ x^2-2\,x+2-m\,x-1+m &=& 0 &\ |\ \text{zusammenfassen} \\ x^2-(2+m)\,x+2+1+m &=& 0 & \\ \end{array}$
Hier ist $a=1$, $b=-(2+m)$ und $c=1+m$ und somit ist die Diskriminante $D=(-(2+m))^2-4\cdot 1\cdot (1+m)$
Diskriminante gleich 0 setzen und lösen:
$\begin{array}{rcll} 0 &=& (-(2+m))^2-4\cdot 1\cdot (1+m) & \ |\ \text{ausmultiplizieren}\\ 0 &=& 4+4\,m+m^2-4-4m & \ |\ \text{zusammenfassen}\\ 0 &=& m^2 & \ |\ \sqrt{\dots}\\ m &=& 0 \\ \end{array}$
Mit $b=1-m$ ist $b=1-0=1$ und die
Tangentengleichung ist $y=0\cdot x+1$ oder $y=1$

Genau eine Tangente bekommt man immer, wenn der Punkt auf der Parabel liegt.

Die Parabel und die Tangente — Die Parabel und ihre Tangente