Potenzgleichungen

Eine Gleichung der Form $x^n=z$ ist eine Potenzgleichung. Hier ist $z\in\mathbb{R}$ und $n$ kann eine ganze Zahl oder ein Bruch sein (also $n\in\mathbb{Q}$).

Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten

Ist $n\in\mathbb{N}$, so löst man die Gleichung durch Wurzelziehen.
Bei

geradem $n$ bekommt man zwei Lösungen (+/-), wenn die Zahl ≥ 0 ist und keine Lösung, wenn die Zahl kleiner 0 ist
ungeradem $n$ bekommt man immer genau eine Lösungen

Beispiele: Bestimme $x$

$x^3=-8$ Lösung:
$\begin{array}{rcll} x^3&=&-8& | \sqrt[3]{\dots}\\ x &=&-2 \end{array}$
$x^4-16=0$ Lösung:
$\begin{array}{rcll} x^4-16&=&0& | +16\\ x^4&=&16& | \pm\sqrt[4]{\dots}\\ x &=&\pm2 \end{array}$
Die Lösungen sind also $x=-2$ und $x=2$, denn
$(-2)(-2)(-2)(-2)=16$ und $2\cdot2\cdot2\cdot2=16$
$x^6=-4$ Lösung:
Keine Lösung da man gerade Wurzeln nicht aus negativen Zahlen ziehen kann.
$\sqrt[6]{-4}$ existiert nicht.
$x^5=243$ Lösung:
$\begin{array}{rcll} x^5&=&243& | \pm\sqrt[5]{\dots}\\ x &=& 3 \end{array}$
Die Lösung ist $x=3$, denn ungerade Wurzeln liefern nur eine Lösung.

Potenzgleichungen mit negativen Exponenten

Ist $n\in\mathbb{Z}$ und ist $n\lt0$, so hat man eine Bruchgleichung.
$x^{-2}=4$ ist das gleiche wie $\frac1{x^2}=4$.
Man löst die Gleichung indem man zuerst mit $x^{-n}$ durch multipliziert.

Bsp: $x^{-2}=4$
Lösung:

$\begin{array}{rcll} x^{-2} &=& 4 & | \cdot x^2\\ 1 &=& 4x^2 & | :4\\ \frac14 &=& x^2 & | \pm\sqrt{\dots}\\ x &=& \pm\frac12 \end{array}$
Dies funktioniert da $x^{-2}\cdot x^2 = x^{-2+2} = x^0 = 1$ ergibt.
Wenn man $x^{-2}$ als Bruch darstellt ist es noch verständlicher:

$x^{-2}\cdot x^2 = \frac{1}{x^2}\cdot x^2 = \frac{x^2}{x^2} = 1$

Somit erhält man nach dem Multiplizieren mit $x^2$ eine Gleichung, in der keine negativen Exponenten mehr vorkommen. Ab hier kann man weiterrechnen wie mit natürlichen Exponenten.