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Diskriminante

Eine Parabel kann null, einen oder zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse haben. Wenn es nur einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse gibt ist dies eine doppelte Nullstelle, d.h. der Scheitel liegt auf der $x$-Achse.
3 Parabeln, eine mit 2, eine mit einer und eine mit 0 Nullstellen
Die möglichen Fälle, wenn man
eine Parabel mit der $x$-Achse schneidet.
Die Diskriminante $D=b^2-4ac$ gibt an, wie viele Schnittpunkte eine Parabel mit der $x$-Achse hat: Die Diskriminante ist genau der Term, der in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Steht in der Mitternachtsformel etwas negatives unter der Wurzel, hat sie keine Lösung (keine Nullstelle), steht 0 unter der Wurzel hat sie genau eine Lösung (eine Nullstelle bei $x=\frac{-b}{2a}$) und ist der Wert unter der Wurzel positiv, so hat sie zwei Lösungen (zwei Nullstellen).
Bsp.: Gesucht ist die Anzahl der Nullstellen.
  1. $f(x)=2x^2-3x+1$
    $D=(-3)^2-4\cdot2\cdot1=9-8=1$
    Somit ist $D\gt0$ und $f$ hat zwei Nullstellen.
  2. $g(x)=4x^2+2$ (hier ist $b=0$)
    $D=0^2-4\cdot 4\cdot 2=-32$
    Somit ist $D\lt0$ und $g$ hat keine Nullstellen.
  3. $h(x)=8x^2-16x+8$
    $D=(-16)^2-4\cdot 8\cdot 8= 0$
    Somit ist $D=0$ und $h$ hat eine Nullstellen.
Hat man die Diskriminante berechnet und sie ist kleiner 0 ist man fertig.
Wenn sie positiv oder 0 ist, kann man den Wert in der Mitternachtsformel unter der Wurzel einsetzen, somit ist die Berechnung der Diskriminante nie verschwendete Arbeit.
Bsp.: Gesucht sind die Nullstellen.
  1. $f(x)=2x^2-3x+1$
    $D=1$
    Somit ist $D\gt0$ und $f$ hat zwei Nullstellen, nämlich:
    $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2\cdot a}=\dfrac{3\pm\sqrt{1}}{2\cdot 2}$
    $x_1 = \dfrac{3-1}{4} = \frac12$
    $x_2 = \dfrac{3+1}{4} = 1$
    Die Nullstellen sind: $x_2= \frac12$ und $x_2=1$,
    die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse sind $N_1(\frac12\mid 0)$ und $N_2(1\mid 0)$
  2. $h(x)=8x^2-16x+8$
    $D= 0$
    $x=\dfrac{16\pm\sqrt0}{2\cdot 8} = \dfrac{16}{16}=1$
    Die Nullstelle liegt bei $x=1$, der Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist also bei $N(1\mid 0)$.
    Da es nur eine gibt, ist dieser auch der Scheitel $S(1\mid 0)$.